概率论与数理统计 第3版 教学课件 作者 范玉妹 电子课件 第三章 多维随机变量及其分布第五节两个随机变量的函数的分布.ppt

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1、第三章知识结构图多维随机变量联合分布律联合分布函数函数的分布联合概率密度二维离散型随机变量联合分布函数函数的分布二维连续型随机变量定义常用分布定义常用分布一般，先讨论两个随机变量的函数的分布问题，然后将其推广到多个随机变量的情形。在多维随机变量中需讨论：已知随机变量X1,X2,…,Xn及其联合分布，如何求出它们的函数：Yi=gi(X1,X2,…,Xn),i=1,2,…,m的联合分布。第五节两个随机变量的函数的分布研究的问题在一维随机变量中讨论了：已知随机变量X及它的分布，如何求其函数的分布。一.Z=X+Y的分布(和的分布)设(X,Y)的概率密度为f(x,y).固定

2、z和x,对内层积分作变量替换y=u–x累次积分是直线x+y=z左下方的半平面交换积分次序则Z=X+Y的分布函数为:得Z=X+Y的概率密度为:当X,Y相互独立时，则由或称为卷积公式记为：由X和Y的对称性，fZ(z)又可写为：有:注例1.设X和Y相互独立的随机变量，且求：Z=X+Y的概率密度解:利用卷积公式：结论:推广到n个相互独立正态随机变量之和，即：若随机变量X和Y相互独立，且▲则它们的和仍服从正态分布，即：▲且它们相互独立，▲更一般的有：则它们的和仍服从正态分布。即有：有限个相互独立的正态随机变量的的线性组合仍然服从正态分布。例2.且X,Y的概率密度分别为:求:

3、Z=X+Y的分布解:令：从当时，当时，Beta函数定义：B(m,n)=且B函数与函数之间有关系式：从而得：结论:从而得：▲若相互独立，且服从参数为的分则它们的和仍服从参数为的分布▲推广：服从参数为则其和布，此时则称X服从自由度为n的开平方分布，▲特别当时，的密度函数为：▲若相互独立，并均服从,则正态分布的和仍服从正态分布；而正态分布的平方和和却服从分布记为：例3.求:Z=X+Y的分布解:(服从泊松分布)，且X,Y相互独立。设与的取值均为：的取值也为非负的整数因为X与Y相互独立结论:服从参数为的泊松分布，且若X,Y相互独立,则它们的和服从参数为泊松分布，即：例4.若

4、X和Y相互独立，具有相同的概率密度：求：Z=X+Y的概率密度为确定积分限，先找出使被积函数不为零的区域由卷积公式：即解:由已知：于是得：如图示:区域被积函数不为0的区域例1~例3说明：归纳求解例1~例3过程中知：▲▲用已知的分布求出Z=g(X,Y)的分布。的函数Z=g(X,Y)的分布时，关键是设法将其转化为(X,Y)在一定范围内取值的形式，从而利随机变量，不论是连续型随机变量还是离散型如果它们服从正态分布,分布或泊松分布，那么它们的和也仍然服从正态,分布或泊松分布，并且参数是单个参数之相加,具有这种性质的随机变量也称其为满足或具有可加性的随机变量。在求随机向量(X

5、,Y)二.的分布(商的分布)设(X,Y)的概率密度为f(x,y)则的分布函数为:对于固定z,y令:同样有:故有:对求导得概率密度函数为:当X,Y相互独立时,则有:例5.设X,Y的概率密度分别为:并且X,Y相互独立。求：的概率密度函数注解:因为X,Y的取值范围分为大于零与小于等于零当时：当时：所以Z的取值范围也分为：两段，三、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布最大值和最小值分布设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y).所以得：求：M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数.1.M=max(X,Y)的分布解：

6、因为：2.N=min(X,Y)分布所以从而得：因为：由独立性分布函数定义所以得：▲与由通过对其求导得相应的概率密度函数▲推广：是个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为则：的分布函数分别为:注▲特别，当相互独立且具有相同的设随机变量X1,X2相互独立，并且有相同的几何分布，即:例6.求：的分布解：解法一因为：P(Y=n)=P(max(X1,X2)=n)分布函数F()时（即独立同分布），则有：记:1–p=qn=0,1,2,…而：P(Y=n)=P(max(X1,X2)=n)解法二=P(X1=n,X2≤n)+P(X2=n,X1

7、)-P(max(X1,X2)≤n–1)=P(X1≤n,X2≤n)-P(X1≤n–1,X2≤n–1)n=0,1,2,…而例7.系统L的工作情况(教材P103页例6）