应用高等数学电子教案 教学课件 ppt 作者 曾庆柏 3-1.ppt

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1、模块3导数的应用3·1中值定理、罗必达法则3·2函数的增减性、函数的极值3·3函数的极值与最值*3·4边际与弹性*3·5曲率3·1中值定理、罗必达法则案例研究案例3.1光滑曲线在最高点和最低点的切线：如图，曲线弧上每一点均有连续转动的切线，这样的曲线称为光滑曲线.切线自A点开始，沿曲线弧连续转动到B点，观察并分析曲线的切线的变化情况.当切线达到曲线的最高点和最低点时，切线的斜率是多少？分析（1）（2）（3）抽象归纳中值定理罗尔（Rolle）定理若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在内至少有一点使得几何意义

2、在弧上有一点C，使过C点的切线平行于AB弦.推广：拉格朗日（Lagrange）定理若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在内至少有一点使得问：何时拉格朗日定理成为罗尔定理？例1验证函数在区间上满足拉格朗日定理的条件，并求的值.解（1）因为为初等函数，且在区间上有定义，所以在区间上连续；（2）在开区间（－2，3）内存在，所以函数在区间内可导.所以函数在区间上满足拉格朗日定理的条件.由解得因为所以它们都是满足条件的值.讨论：则______?若则______?推论1若函数在区间内的导数恒为零，则在区间内是一个常数

3、.证在区间内任取两点根据拉格朗日定理，得由此，得0推论2若函数在区间内可导，则在区间内，两个函数至多相差一个常数，其中C为某个常数.柯西（Cauchy）定理若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且则在内至少有一点使得问：若则上式的结论如何？三个定理之间的关系：罗必达法则例2分析此类极限称为型未定式.解罗必达法则若函数满足(1)(2)在点的左右近旁可导,(3)则有例2求解例3求解例4解例5解例6解例7解所以讨论：下列做法是否正确，为什么？（1）（2）（3）小结：一、中值定理1．罗尔定理；2．拉格朗日定理；3．柯

4、西定理.二、罗必达法则1．基本类型：2．其他类型：转化为上述两种基本类型求解.