应用高等数学 教学课件 ppt 作者 第二版 张克新电子教案 6-2.ppt

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1、一、一阶线性微分方程二、一阶微分方程应用举例三、几种简单的二阶微分方程第二节一阶线性微分方程及几种简单的二阶微分方程一、案例二、概念和公式的引出三、进一步的练习1、一阶线性微分方程一、案例[溶液的混合]一容器内盛有50L的盐水溶液，其中含有10g的盐．现将每升含盐2g的溶液以每分钟5L的速度注入容器，并不断进行搅拌，使混合液迅速达到均匀，同时混合液以3L/min的速度流出溶液，问任一时刻容器中含盐量是多少？解设t时刻容器中含盐量为xg，容器中含盐量的变化率为盐流入容器的速度－盐流出容器的速度（1）盐流入容器的速度=2（g/L）×5（L/

2、min）=10(g/min)=(g/min)盐流出容器的速度=（g/L）×3（L/min）即此一阶线性微分方程的特点是：未知函数及其导数都是一次的．由题意知初始条件为．由式（1）得(1)线性线性的微分方程称为一阶线性微分方程．当Q(x)恒等于零时,方程(1)称为齐次微分方程；当Q(x)不恒为零时，方程(1))非齐次微分方程．二、概念及公式的引出一阶线性微分方程形如（一）一阶线性齐次微分方程的解法在方程(1)中，若，则（2）是可分离变量微分方程，分离变量，得即这是齐次微分方程（2）的通解．两边积分，得研究（二）一阶线性非齐次微分方程的解法

3、一阶线性非齐次微分方程(1)的解可用“常数变易法”求得．这种方法是将(1)的通解中的任意常数C，换为x的函数C(x)，即令两边求导，得将y、的表达式代入方程(1)，得两边积分，得将此式代入，便得非齐次线性微分方(*)方程(1)的通解为将通解公式(*)改写成两项之和为齐次方程的通解非齐次方程的特解(3)的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和．式(3)右端第一项是对应的齐次方程(2)的通解，第二项是非齐次线性方程(1)的一个特解．由此可知一阶非齐次线性方程的通解等于对应三、进一步的练习例1[案例的求解]解(1)求通解应用常数变易法，这里

4、，我们直接应用公式(3).为求通解可以先求出对应齐次方程的通解，然后（2）求特解将初始条件代入通解，得C=-22500所以，在时刻t容器中的含盐量为例2求微分方程的通解直接利用公式，由方程可知解代入公式，有应用实例2、一阶微分方程应用举例应用实例例3[衰变问题]放射性物质由于不断地有原子放射出微粒子而逐渐减少其质量的现象称为衰变．由原子物理学知道，衰变速度与当时未衰变的原子的质量成正比．已知时放射性物质的质量为，求放射性物质在衰变过程中质量随时间变化的规律．解放射性物质的衰变速度与其质量成正比，有而微分方程分离变量后，得两端积分即由得所

5、以例4[落体问题]求运动员下落过程中速度与时间的函数关系．设跳伞运动员从跳伞塔下落后，所受空气的阻力与速度成正比．运动员离塔时（t=0）的速度为，运动员在下落过程中，同时受到重力和空气阻力的影响．重力的大小为mg，方向与速度v的方向一致；阻力的大小为kv(k为比例系数)，方向与v相反．从而运动员所受的外力为解（1）建立微分方程其中m为运动员的质量.又由牛顿第二定律有其中a为加速度，a=．于是在下落过程中速度v(t)(1)初始条件为满足微分方程方程(1)是一个可分离变量的微分方程．分离变量后，得（2）求通解两端积分，得即或.其中)(2kC

6、CCekmgvtmk=+=-通解（3）求特解把初始条件代入通解，得于是所求速度与时间的关系为（2）由式（2）可见，当t很大时，很小，此时是加速运动，以后逐渐接近于匀速运动，其速度为v接近于．由此可见，跳伞运动员开始跳伞时例5[温度问题]一电动机运转后，每秒钟温度升高，设室内温度为，电动机温度的冷却速率和电动机与室内温差成正比．求电动机运转秒后的温度（单位为）解电动机运转后，温度升高的速率为1，冷却速率为（为常数），故有即而由一阶线性非齐次微分方程的通解公式，得将初始条件代入上式，得．故经时间后，电动机的温度为1999年我国的国民生产总值

7、（GDP）为80423亿元，如果我国能保持每年8%的相对增长率，问到2010年我国的GDP是多少？例6[国民生产总值]解(1)建立微分方程记t=0代表1999年，并设第t年我国的GDP为P(t)．由题意知，从1999年起，P(t)的相对增长率为8%，即得微分方程（2）求通解分离变量得方程两边同时积分，得（3）求特解将p(0)=80423代入通解，得C=80423，所以从1999年起第t年我国的GDP为将t=2010-1999=11代入上式，得2010年我国的GDP的预测值为例7[环境污染问题]某水塘原有50000t清水(不含有害杂质)，

8、从时间t=0开始，含有有害杂质5%的浊水流入该水塘．流入的速度为2t/min，在塘中充分混合(不考虑沉淀)后又以2t/min的速度流出水塘．问经过多长时间后塘中有害物质的浓度达到4%?解（1）建立微分方程设