应用高等数学 教学课件 ppt 作者 第二版 张克新电子教案 4-2不定积分.ppt

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1、1.1.1函数的概念4.2.1第一换元积分法4.2.2第二换元积分法4.2.3分部积分法4.2不定积分的计算方法4.2.1第一换元法一、方法的引出二、进一步的练习不能直接利用基本积分公式，因为是一个复合函数.下面我们先将被积表达式变形，然后再用基本公式求积分：因为，所以是的原函数.这说明上面的方法是正确的.一、方法的引出上述解法的特点是先凑微分，然后引入新变量，）（具有连续的导数从而将原不定积分化，为关于的一个简单的不定积分利用基本积分公式求解，最后还原变量.这种求不定积分的方法叫做第一换元积分法.第一换元积分法求不定积分的一般步骤如下:上述步骤中，关键是怎样选择适

2、当的变量代换将凑成，因此第一类换元法叫凑微分法..解练习1求二、进一步的练习熟练了以后，所设新变量可不必写出来，简写为练习2求解.凑微分法的关键是凑微分，运用的难点在于把哪个函数凑成的形式，这需要解题经验，要熟练掌握微分基本公式和不定积分基本公式.下面列举一些常用的凑微分形式，对我们计算不定积分有一定的帮助.其中，均为常数，.1.；；2.；；练习3求解练习4求解类似地，可得练习5求()解于是，有()练习6求解类似地，可得练习7求解先利用三角函数的积化和差公式，将被积函数化作两项之和，再分项积分.因为所以，有练习8某太阳能发电厂太阳能的能量相对于接触的表面面积的变化率

3、为:且当时，.试求太阳能的能量的函数表达式.解对积分得:又当时，代入上式,得，所以有4.2.2第二换元法一、方法的引出二、进一步的练习第一换元积分法是通过变量代换，把积分化为容易积分的.但有时也会遇到相反的情形，积分不易求得，而令，将积分化为积分后才能求出结果.一、方法的引出例如，求积分，，为了去掉根号，可设，则于是，有通过这种换元，我们求出了积分.这种方法叫做第二换元积分法.第二换元积分法的一般步骤是:使用第二换元积分法的关键是恰当地选择变换函数，要求单调可导，，其反函数存在.因此，第二换元积分法又叫做变量代换法.二、进一步练习练习9[求]解令,则,从而一般地，当

4、被积函数中含有形如（其中）等简单根式的不定积分，可通过适当的变量代换：令或消去根式而将被积函数化为有理函数.练习10[求]解被积函数中含有与上例一样，设法去掉根号.我们找一种变量替代式，使能化成某一项的平方，而经替代后又不含根号.这样,可使被积表达式不含根号.考虑到三角恒等式可设,则有；于是.练习11[求]解利用三角公式：来化去根式.设,则而于是便有,且因此其中作辅助三角形为了要把及换成的函数，可以根据一般地,当被积函数中含有根式:（1）,可令或（2），可令或（3），可令或其中为常数.通常称以上三种代换为三角代换.注意:在作三角代换时，可以利用直角三角形的边间关系确

5、定有关三角函数的关系，以便变量还原为原积分变量.常用的积分公式，除了基本积分表中的几个外，再添加下面几个(其中常数):14.15.16．17.18.19.20.21.22.23.24.4.2.3分部积分法一、方法的引出二、进一步的练习设函数及具有连续导数，那么，两个函数乘积的导数公式为移项，得对这个等式两边求不定积分，得这个公式称为分部积分公式.如果求有困难，而求较容易时，分部积分公式就可以发挥作用了.为简便起见，也可把公式写成下面的形式:一、方法的引出解：这个积分用换元积分法不易求得结果，现在试用分部积分法来求它.但是怎样选如果设代入分部积分公式，得:而容易积出，

6、所以.练习12[求]二、进一步练习求这个积分时，如果设，那么，于是：上式右端的积分比原积分更不容易求出.和如果由此可见,选取不当，就求不出结果，所以应用分部积分法时，恰当选取和是一个关键.选取一般要考虑下面两点:和（1）容易凑微分；（2）要比容易积出.解设，那么于是：的引进过程可以不写出来.熟练后，、上例的求解过程也可表述为练习13[求]解练习14[求]解类似地，有以上这种解题的方法称为循环法.练习15[求]当被积函数是指数函数与幂函数的积时，选定后，在两次分部积分过程中，的选取要一致.设任意函数为都可以，但要注意一旦练习16工程师们已经开始从墨西哥湾的一个新井开采

7、天然气.根据初步的试验和已往的经验，他们预计天然气开采后的t月的总产量P（单位：）的变化率为：，试求总产量函数解依题意知:总产量函数为总结：在求积分的过程中有时要几种方法同时应用.我们学习了三种积分方法：直接积分法、换元积分法、分部积分法.在运用过程中要注意以下几个问题：1.任意初等函数的导数还是初等函数，但是初等函数的原函数未必就是初等函数.例如：，，，虽然这些不定积分都存在，但不能用初等函数表示它们的原函数，这时称为“积不出”.2.求初等函数的导数有一定的法则可循，但是求原函数的问题要比求导数复杂得多.只有少数函数能通过各种技巧求出它的原函数.3.在实际应用