应用高等数学电子教案 教学课件 ppt 作者 曾庆柏 8-1.ppt

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1、模块8级数8·1常数项级数8·2常数项级数收敛性判别法8·3幂级数8·4傅里叶级数8·1常数项级数案例研究案例8.1QQ级数的计算：下面的表给出了QQ级数与在线时数的对应值：QQ级数1234在线时数2050901405678200270350440QQ级数是怎样由在线时数计算出来的呢？分析从第2项开始，将在线时数后一项减去前一项，得到下面的数列20，30，40，50，60，70，80，…它是首项为20、公差为10的等差数列.对上述数列求前项和得…………可以看到，前1项的和对应第1级，前2项的和对应第2级，前3项的和对应第3级，…，前n项的和对应第n

2、级.由此可知，级数实际上是一个数列的和的问题.抽象归纳常数项级数的概念设给定一个数列则和式叫做常数项无穷级数，简称数项级数或级数，记作即其中第n项un叫做级数的通项或一般项.例由数列构成的级数为问：怎样求上述无穷和？它的前n项和当时，有因此，我们认为上述无穷和等于定义对于级数它的前n项的和称为级数的部分和.当时，若有极限s，即则称级数是收敛的，并称s为该级数的和，记作当时，若没有极限，则称级数是发散的.当级数收敛时，级数的和s与它的部分和之差称为级数的余项.例1判断级数是否收敛？若收敛，求它的和：解级数的部分和且所以级数收敛，其和等于1.例2讨论级

3、数的收敛性：解且所以级数收敛，且级数的和为例3讨论级数的收敛性：解级数的部分和为当n趋无穷大时，它是摆动的，极限不存在，所以级数发散.例4讨论级数的收敛性：解级数的部分和为且所以，级数发散.定义无穷级数称为等比级数（又称为几何级数），其中q叫做级数的公比.结论当时，等比级数收敛，且其和为当时，等比级数发散.例5有A、B、C三人按以下方法分一个苹果：先将苹果分成4份，每人各取一份；然后将剩下的一份又分成4份，每人又取一份；依此类推，以至无穷．验证：最终每人分得苹果的解据题意，每人分得的苹果为它是的等比级数，因此其和为即最终每人分得苹果的例6无穷级数称

4、为调和级数.试证明它是发散的.证由图知，各个小矩形的面积比同底的小曲边梯形面积大.图中n个小矩形的面积和为曲线和直线所围成的曲边梯形的面积为于是，因为所以即调和级数发散.级数的基本性质性质1若级数收敛，其和为s，则它的各项同乘以一个常数k所得的级数也收敛，且其和为证设级数与级数的部分和分别为则于是即级数收敛，且和为ks.讨论：上述性质反过成立吗？性质2若级数和都收敛，其和分别为s与则级数也收敛，且其和为证设则所以级数收敛，且其和为例7判定级数的收敛性.若收敛，求其和.解级数和级数分别是公比为和的等比数列，它们都是收敛的，且由性质2知，级数收敛，且其

5、和为性质3在级数中去掉、添加或改变有限项，不改变级数的收敛性或发散性.性质4（级数收敛的必要条件）若级数收敛，则通项的极限为零，即证设级数的和为s，部分和为则于是，有由于所以讨论你能举例说明，级数的通项趋于零，但级数不收敛吗？推论若级数的通项当时不趋于零，即则级数是发散的.例8证明级数是发散的：证因为它的通项的极限所以级数是发散的.小结：1．级数的概念：定义，和，收敛性；2．两种特殊级数：几何级数，调和级数；3．级数的基本性质：性质1：性质2：性质3：改变有限项，不改变级数的敛散性.性质4：必要条件.