【立体设计】2012高考数学 第九章 7 空间向量及其运算知识研习课件 理（通用版）.ppt

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1、一、空间向量及其运算1．空间向量及其加减与数乘运算(1)在空间中，具有大小和方向的量叫做向量．方向相同且模相等的有向线段表示同一向量或相等向量．与a长度相等而方向相反的向量称为a的相反向量．(2)空间向量的有关知识实质上是平面向量对应的知识的推广，如有关的概念、运算法则、运算律等等．2．共线向量与共面向量(1)如果表示向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量(或平行向量)．(2)平行于同一平面的向量叫做共面向量；空间中的任意两个向量总是共面的．(3)共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b的充要条件是∃λ

2、∈R，使a＝λb.推论：如图，如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是1．下面有四个命题：①单位向量都相等；②对任意非零向量a、b必有

3、a＋b

4、≤

5、a

6、＋

7、b

8、；③空间的基底有且只有一个；④对于空间的基底a、b、c而言，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.其中正确命题的序号是()A．①②③B．②④C．①④D．②③解析：①单位向量方向可以不同；②类比三角形的边的关系知；③④空间只要三个不共面的向量构成一个基底，并能线性表示任何向量．答案：B1．空间向量

9、的知识和内容是在平面向量知识的基础上产生和推广的，因此，可以利用类比平面向量的方法解决本节的很多内容．2．零向量是一个特殊向量，在解决问题时要特别注意零向量，避免对零向量的遗漏．3．λa是一个向量，若λ＝0，则λa＝0；若λ≠0，a＝0，则λa＝0.4．讨论向量的共线、共面问题时，注意零向量与任意向量平行，共线与共面向量均不具有传递性．5．(1)数量积运算不满足消去律，即a·b＝b·c⇒a＝c.(2)数量积的运算不适合乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)．这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个

10、与a共线的向量，而c与a不一定共线．(3)空间向量没有除法运算．6．建立空间直角坐标系后，空间任一点P的坐标的确定方法：P点分别在x轴、y轴、z轴上的投影所对应的实数构成的有序实数组(x，y，z)即为P点坐标．8．运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤为：①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标；③写出向量的坐标；④结合公式进行论证、计算；⑤转化为几何结论．9．建立空间直角坐标系，必须牢牢抓住“相交于同一点的两两垂直的三条直线”，要在题目中找出或构造出这样的三条直线，因此，要充分利用题目中所给的垂直关系(即线线垂直、线面垂直、

11、面面垂直)，同时要注意，所建立的坐标系必须是右手空间直角坐标系．在右手空间直角坐标系下，点的坐标既可根据图中有关线段的长度，也可根据向量的坐标写出．【即时巩固1】如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是()A．－a＋b＋cB.a＋b＋cC.a－b＋cD．－a－b＋c考点二　求线段长【案例2】如图(a)，在△ABC中，∠ACB＝60°，CD为∠ACB的角平分线，AC＝4，BC＝2，过点B作BN⊥CD于N，延长交AC于E，将图形沿CD折起，使∠BNE＝120°，如图(b)．求

12、折后所得线段AB的长度．关键提示：注意折前与折后哪些量变化了，哪些量没有变.【即时巩固2】如图所示，在60°的二面角α－AB－β中，AC⊂α，BD⊂β，且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A、B，已知AB＝AC＝BD＝a，求线段CD的长．点评：①空间向量基本定理的应用之一是证明四点共面．②用共线向量定理证明线线平行，从而证明面面平行更简捷，使问题简单化．【即时巩固4】已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，用向量法解决下列问题：(1)求A1B和B1C的夹角；(2)证明A1B⊥AC1；(3)求AC1的长度．