关于丢番图方程 x3±64＝Py2的整数解的研究-论文.pdf

《关于丢番图方程 x3±64＝Py2的整数解的研究-论文.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第13卷第1期淮阴师范学院学报(自然科学版)V01．13No．12014年3月JOURNALOFHUAIYINTEACHERSCOLLEGE(NATURALSCIENCEEDITION)Mar．2014关于丢番图方程3±64=的整数解的研究钱立凯，普粉丽(1．曲靖师范学院教师教育学院，云南曲靖655011；2．普洱学院数学与统计学院，云南普洱665000)摘要：利用初等方法得出了：P；5，17(rood24)为奇素数时，丢番图方程±64=无学0(mod2)的正整数解．关键词：丢番图方程；奇素数；正整数解；同余式；乐让德符号中图分类号：O156文献标识码：A文

2、章编号：1671-6876(2014)01-0020-03O引言方程±口=Dy(，Y∈N，D>0，且无平方因子)(1)是一类重要的丢番图方程，其整数解引起了人们的关注．o=1时，管训贵]、杜先存等刮已有一些结论；0=3时，钱立凯、杜先存已有一些结论；0=4时，目前的主要结论有：1994年，李复中给出D只含一个6+1型素数因子时丢番图方程±64=3Dy在一些条件下无非平凡解的充分条件；1994年，张海燕、李复中给出D不能被3或6．i}+1型的素数整除且D≠+2时丢番图方程±64=Dy无非平凡解的充分性条件；2008年，赵天讨论了丢番图方程±2=3Dy(D=7，

3、13，19，31)的解；2012年，张攀研究了十个丢番图方程。±64=PY(P=7，13，19，37，43)的所有整数解．本文主要研究D为6+1型素数时丢番图方程±64=Py解的情况．定理1设P；5，17(rood24)为奇素数时，则丢番图方程一64=(2)无≠0(rood2)正整数解．定理2设P；5，17(rood24)为奇素数时，则丢番图方程+64=Py(3)无≠0(mod2)的正整数解．定理1证明因为≠0(rood2)，而P；5，17(rood24)为奇素数，故由(2)知，Y≠0，(rood2)所以；1(rood2)，Y；1(mod2)，又因为。一64

4、=(一4)(+4+16)，所以gcd(一4，+4+16)=ged(x一4，(一4)+12x)：ged(x一4，(一4)+12(一4)+48)=ged(一4，48)=gcd(x一4，3×2)：1或3，从而丢番图方程(2)可以得出下列4种可能的情形：情形1：一4=Pu，+4+16=，=，ged(“，)=1；情形2：一4=，+4+16=Pv，Y=，god(，)=1；情形3：一4=3Pu2．x+4x+16=3v，)，=3uv，gcd(“，)=1；情形4：一4=3u，+4+16=3Pv，Y=3uv，ged(，)：1．下面分别讨论丢番图方程(2)在这4种情形下的所有解的

5、情况．收稿日期：2013-06-23通讯作者：钱立凯(1982-)，男，云南洱源人，讲师，硕士，研究方向为初等数论及数学教育第1期钱立凯等：关于丢番图方程±64=的整数解的研究21情形1，第二式可化为(+2)+12=，即一(+2)=12则有(++2)·(一一2)：12，可得=0或一4，代到第一式可知=0或一4均不适合此式，因此该情形方程(2)无≠0(rood2)的正整数解．情形2，第二式可化为(+2)+12=Pv，两边取模3得(+2)+12Pv(rood3)，又(孚)=()_l’而(竽)=()(孚)=(了P)=一·，得出矛盾，因此该情形方程(2)无≠0(ro

6、od2)的正整数解．情形3，因为1(rood2)，知“1(rood2)，即1(rood8)．由于由于P5，17(rood24)，知Pi1，5(rood8)，可知=3Pu+4E3，7(rood8)，则+4+16i5(rood8)．又因为i1(rood2)，所以有3v；l(rood2)，则E1(rood8)，所以3vE3(mod8)，则有5；+4+16=3v一3(rood8)，得出矛盾，因此该情形方程(2)无≠0(rood2)的正整数解．情形4，第二式可化为(+2)+12：3Pv，把第一式中的=3u+4代入得3(“+2)+4=Pv，两边取模3，得3(u+2)+4

7、Pv(rood3)，而()=()=(÷)=，(譬)=()(孚)=()=一，得出矛盾，因此该情形方程(2)无≠0(rood2)的正整数解．从以上4种情况的讨论，得知P5，17(rood24)为奇素数时，丢番图方程一64=Py无≠0(rood2)的正整数解．定理2证明因为≠0(rood2)，而P5，17(rood24)为奇素数，故由(3)知，Y≠0(rood2)，所以；1(rood2)，Y一1(mod2)，又因为+64=(+4)(一4x+16)，所以ged(x+4，一4x+16)=ged(+4，(+4)一12x)=gcd(+4，(+4)一12(x+4)+48)=

8、god(+4，48)=gcd(x+4，3×2)=1或