关于丢番图方程x3±53＝3py2的整数解-论文.pdf

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1、2014年6月湛江师范学院学报Jun．，2014第35卷第3期JOURNALOFZHANJIANGNORMALUNIVERSITYVO1．35No．3关于丢番图方程X3±53"-3py2的整数解万飞，杜先存(红河学院教师教育学院，云南蒙自661199)摘要：设P为奇素数，运用同余式、平方剩余等初等方法得出了丢番图方程士5。=3py。无正整数解的两个充分条件．关键词：丢番图方程I奇素数}同余；平方剩余}正整数解中图分类号：O156．1文献标志码：A文章编号：1006—4702(2014)03—0005—02方程z。±

2、5。=Dy(D是无平方因子的正整数)是一类重要的丢番图方程，其整数解越来越受到人们的关注，目前已有一些结论，本文主要给出如下定理：定理1设P为奇素数，夕=3(3r+1)(3r+2)+1，rEZ，且r三1，2，3(mod5)，则丢番图方程。士5。一3py。(1)无Z解．定理1证明当x-=0(mod5)时，由文献EI-I可知，方程(1)无x~-0(mod5)的z解．当x：ze0(mod5)时，设(z，)是方程X3土5。=Y。的一组解，则gcd(x+5，X千5z+25)=1或3，又X。干5+25≠O(mod2)，则方程(

3、1)可分解为以下8式：情形I：z土5—3pu。，X。千5z+25一。，=，gcd(u，)一1情形Ⅱ：±5一，千5+25—3pv。，一，gcd(u，)一1情形IlI：z士5—3u。，X。千5z+25一pv。，—U"O，gcd(u，)一1情形IV：z±5=pu，X千5z+25—3v，=乱，gcd(u，)一1情形V：x+-5=9pu，X干5z+25=3v，一3uv，gcd(u，)一1情形gI：X±5—3u。，。千5+25—9pv，一3uv，gcd(u，)：==1情形Ⅶ：x+-5—9u，X。千5z+25=3pv，一3uv，

4、gcd(u，)一1情形Ⅷ：z士5=3pu。，千5+25—9v，=3uv，gcd(u，)一1收稿日期：2014-05-13基金项目：江苏省教育科学“十二五”规划课题项目(D201301083)；云南省教育厅科研基金(2O12C199)．作者简介：万飞(1969一)，女，云南建水人，红河学f兜教师教育学院副教授，从事数学教育及初等数论研究．6湛江师范学院学报(自然科学)第35卷以下分别讨论这8种情况下方程(1)的解的情况：情形I由第二式得z==：千16，干3，土8，i21，则3pu。=千11，±12，士13，+26，无

5、解，故情形I不成情形Ⅱ由X。q=5x+25=3pv配：h-t~(2x：t：5)。+75=3p(2v)。，把z一。千5代入可得(22=／=15)2+75=3p(2，2“T15)。+75~3p(2)z(mo'd5)．又()一f2r2+2r+21，且1，2，3(mod5)，则一(2rZ7r+2)=一1，又(二)：1矛盾，故情形Ⅱ不成立．仿情形Ⅱ的证明可得情形Ⅳ，情形V，情形Ⅶ均不成立．情形Ⅲ由X。~5x+25=-pv配方得(2z千5)。+75=p(2v)。，把=3u2—5代人可得9(2z干5)z+75：==户(2)，由9

6、(2u千5)。+75=0(mod3)，而夕=3(3r+1)(3r+2)+l，则有p≠O(mod3)，则三O(mod3)，即有X。q=5x+25=0(mod3)，即god(x+5，X=V5x+25)一3，这与gcd(x+5，z。：g5z+25)=1，矛盾，故情形Ⅲ不成立．情形Ⅵ由XqZ5x+25=9pv。配方得(2z千5)。+75=9p(2v)，把z一3u。一5代入可得3(2“千5)。+25—3p(2v)。，因3p(2v)。=0(mod3)，而25-~0(mod3)，即3(2u。干5)。+25≠0(mod3)，矛盾，

7、故情形Ⅵ不成立．仿情形Ⅵ的证明可知情形Ⅷ也不成立．综上所述：Diophantine方程(1)在题设条件下无正整数解．参考文献：[1]韩云娜．关于一类丢番图方程整数解的讨论与研究[D]．西北大学，2011OntheDiophantineEquation3=ks3=3py2WANFei。DUXiancun(TeacherEducationCollege，HongheUniversity，Mengzi661199，Yunnan，China)Abstract：LetPbeanoddprime．Byusingcongruen

8、tformulaandquadraticresidue，twosufficientcon—ditionsareobtainedthattheDiophantineequation。±5。=3pyhasnopositiveintegersolutions．Keywords：Diophantineequation；oddprime；congruence；quad