离散扰动下向量均衡问题的稳定性-论文.pdf

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1、第16卷第2期应用泛函分析学报Vo1．16，No．22014年6月ACTAANALYSISFUNCT10NALISAPPLICJune，2014DOI：10．3724／SP．J．1160．2014．00154文章编号：1009—1327(2014)02—0154-06离散扰动下向量均衡问题的稳定性宋军，徐强平，徐刚(南昌大学数学系，南昌330031)摘要利用集合序列P—K收敛的概念，讨论了离散扰动下的向量均衡问题弱有效解的稳定性．提出了一个新的向量均衡问题的极小化序列的概念．给出了各种充分条件以确保集合的包含关系，并举例阐述

2、相应的结论．关键词向量均衡；弱有效解；P—K收敛；稳定性中图分类号O241．83文献标识码A1引言和定义向量优化的稳定性是研究扰动下的向量优化问题的解在什么条件下可以逼近原向量优化问题的解，因而这是一种定性的分析．可以分连续性扰动情形和离散化扰动情形加以研究．连续性扰动下的稳定性是研究解集的连续性，即上半连续性和下半连续性．离散化扰动下的稳定性是研究解集在集合序列P．K收敛意义下的包含关系．Attouch，Raih[]利用集合序列P—K收敛的概念给出了数值优化问题有效点的稳定性结果，这是一种离散化扰动的情形．Huang[】将

3、文献f11的一些结论推广到了向量值优化和集值优化问题中，研究了可行集和映射同时扰动下的稳定性问题．但是文献『1]要求控制序锥具有有界基．龚循华，刘伟[3]将序锥具有有界基这一条件，减弱为序锥是正则锥．因为具有有界基的序锥是正则的，反之不一定成立．2010年，Lalitha[]等研究了含参数的Minty类型的拟变分不等式在连续扰动下的稳定性．近几年，向量均衡问题的研究越来越多，可以通过文献[5-9】及其后面的参考文献看到．向量优化问题是向量均衡问题的特例，因而可以将向量优化问题的稳定性理论的研究方法应用到向量均衡问题中．本文采

4、用文献[4]的方法，结合文献[2]的工作，研究了可行集和向量值映射离散化扰动下的向量均衡问题弱有效解的稳定性．本文假设，y是赋范线性空间，为的非空子集，是y中的闭凸点锥，intC≠0．是y中的单位球．厶，f：X×—y为向量值映射．定义1【】如果集合{D}】，J[)满足：limsupDncDliminfD，n∞n∞其中liminfD=f=liraX：存在Ⅳ，当n>N时，∈D)，7—+。。noolimsupD={z=．1iraXk：k∈D，对所有的，{札)是自然数集合的子集)，n—+oo_oo则称{J亡)}1是Painleve—

5、Kuratowsi收敛到D，简称为{D)1P—K收敛到D，记为DD，或者记为D：limD．定义21加]称向量值映射9：X—y在一点Xo是一上半连续的，是指：对于g(xo)的任一个邻域(9(0))，都存在Xo的一个邻域N(xo)，使得Vx∈Ⅳ(z0)，有g(x)∈u(g(xo))一C．如果9：收稿日期：201303—20资助项目：国家自然科学基金(61175127)；江西省自然科学基金(2009GZS0022)作者简介：宋军(1968一)，男，江西南昌人，博士研究生，研究方向：决策分析，E—mail：songjun100@12

6、6．com第2期宋军，等：离散扰动下向量均衡问题的稳定性155—y在的每一点都一上半连续，就称9：X—y在上是．上半连续的．向量均衡问题(简称为：ⅦP)是：求∈A，使得f(x，)一iIltc，V∈A．∈A称为是向量均衡问题的弱有效解，如果f(x，)一intC，∈A．以Vw(A，．厂)表示，在集合A上的弱有效解集，即：(A，，)={∈A：，(，)一intC，∈A)．以Vw(A，．厂)表示，在扰动集合上的弱有效解集，即：(，，)={EA：y(x，)一intC，∈A)．以Vw(A，，n)表示扰动函数厶在扰动集合上的弱有效解集，即：

7、Vw(A，^)：{∈A：厶(，)一into，V∈A)．以下讨论Vw(A，，)与(如，，)，Vw(A，，)与(，，n)的关系．2主要结论以下，总假设解集(A，，)，(A，，)和(A，A)非空．定理1若AP一'-KA，且．厂是×上的一上半连续函数，则：lirasupVw(A，．厂)Vw(A，，)．证明假设lirasupVw(A，，)，，)，即存在∈lirasupVw(A，．厂)，(A，，)．于是，存在∈Vw(A，，)使一．因为∈Vw(A，，)，∈A．又由AA知，∈A．由于Vw(，，)，则∈A，使得f(x，)∈一intC，因而存在

8、零元邻域，使，(，)+U一intC．而∈A，于是3N，当n>N时，∈A，使一．取充分大，使几>N．由于(，)一(，)(七一。。)，且，是X×上的一上半连续函数，当充分大时，y(xn，Yn)∈y(x，)+U—C一intC～C-intC．这与∈Vw(A，f)(vk)矛盾．因此，∈(，，)，li