拟-k-仿正规算子的一个注解-论文.pdf

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1、数学物理学报http：／／actams．wipm．ac．cn拟一一仿正规算子的一个注解左飞申俊丽(河南师范大学数学与信息科学学院河南新乡453007)摘要：设是复希尔伯特空间H上的有界线性算子，若对任意的z∈H，T满足fITk+2xJlIIT~fllI“，则称为拟一一仿正规算子，其中为正整数．该文给出了拟一k一仿正规算子的一一些性质，如拟一k一仿正规算子是极，作为此性质的应用，证明了拟一k一仿正规算子满足Weyl定理．关键词：拟一一仿正规算子；极；Weyl定理．MR(2000)主题分类：47A10；47B20中图分类号：O177．1文献标识码：A文章编号：1003—3998(2014)04

2、—917-081引言设日为一个无限维可分的希尔伯特空间，B(H)表示H上的有界线性算子的全体．设T∈B(H)，若满足T，则称为亚正规算子．若满足1T11TI，则称为类算子．若满足llTllIIVlfXll=1，则称丁为仿正规算子．若对某个正整数k及任意的单位向量z，T满足lITHzll南{IlI，则称为k一仿正规算子．若满足ll=flTlIn,礼∈N(等价于lITlI=r()，其中r()为的谱半径)，则称为似正规算子．若满足i0lTTITIT，则称为拟一类算子．若满足IHI赤TTlTIT，则称为拟一A(k)类算子．若对任意的X∈，T满足llT。z⋯lTxllilT。则称为拟一仿正规算子．若

3、对某个正整数及任意的∈H，T满足l』¨⋯lTxJIkflTlIk+l，则称是拟一一仿正规算子．由文献『151知下面的包含关系成立．亚正规算子A类算子仿正规算子一仿正规算子似正规算子．亚正规算子A类算子拟一类算子拟一仿正规算子拟一一仿正规算子．定义c与分别为复数集与复数入的共轭，定义集合M的闭包为M．用N(T)，R(T)分别表示的零空间和值域；()：=dimN(T)；／3(T)：=dimH／R(T)；()，盯。()，()和iso()分别为的谱，近似点谱，点谱和谱点的孤立点．收稿日期：2012—08—09；修订日期：2013—11—29E—mail：ZUOfei2008@sina．com基金项

4、目：国家自然科学基金(11201126)、河南师范大学青年基金(2013QK01)和河南省教育厅科学技术研究重点项目(14Bl10008)资助9l8数学物理学报Vo1．34A没A∈iso盯()，则算子在点的Riesz幂等算子定义为E一丽1(～)d，其．r)中D是以为中心的闭圆盘，此圆盘不包含盯()中的其他点．Stampfli[。]证明了若满足G1条件，则E是自共轭的且R(E)=N(T一入)．近来，Jeon与Kim[，Uchiyama[j分别得到Stampfli结果对拟一类算子与仿正规算子成立，Tanahashi，Jeon，Kim与Uchiyama[LJ_得到Stampfli结果对拟一(A，

5、)类算子成立，Han与Na[]得到Stampfli结果对拟一仿正规算子也成立．本文将证明拟一．仿正规算子也有类似性质．2拟一k一仿正规算子引理2．1(文献[2，引理2．2])对每个正整数南，T是七一仿正规算子当且仅当+T+盘一(+1)TT4-+0，V>0．引理2．2(文献[3，引理2．2])对每个正整数，T是拟一一仿正规算子当且仅当+T+一(尼+1)TT++T0，V>0．引理2．3(文献[3，定理2．1])设是拟一忌一仿正规算子且M是其不变子空间，则T在上的限制TIM也是拟一惫一仿正规算子．我们得到如下包含关系．定理2．4若是拟一A(k)类算子，则T是拟一一仿正规算子．证设是拟一A(k)类

6、算子，则2TlTlTTlT+l讯T从而对任意的∈H，有z：(。，z)(IT+l雨2，)(IT+1。Tx，)TxIlk=T+Tx1【TlIk~lllT2+kzIIIITzII，Vx∈日，即T是拟一一仿正规算子．I但反过来结论不一定成立．下面给出一个是拟一定一仿正规算子，但不是拟一(忌)类算子的例子．例子2．1设=(㈡，则T足拟～一仿正规算子，但不是拟一()类算子．证南于=㈥，一O)．NO．4左飞等：拟一昆一仿正规算子的一个注解919则一+=()(—0：)(；：)=(。0)另一方面，惫、J㈥类算丁ll=子。／＼0因此T不是拟=，0由于／＼、、●／O／，1＼T2T2—2ATT+，O0／，，●●●

7、、＼／，，●●一／～1TfT一2ATT+入。)T=，0，<0：=＼0、●／0+故T是拟一仿正，，，规●●算子，从而T是拟一一仿正规算子．I一一／一注由于仿2正规(算子是=似正规算子，但拟一A类算子不一定是似正规算子·因此拟一一『0O／，，●●、、l●／仿正规算子不一定是似正规的＼．下面给出一个是拟一仿正规算子，但不是忌一仿正规算子0OO0八l，、、●／＼、，／，的例子．设日=，一、、(●／：)，则是拟一仿正规算子，但对任