蕴涵代数与BCK代数.pdf

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1、第卷第期模糊系统与数学年月文章编号蕴涵代数与代数朱怡权肇庆学院数学系广东肇庆摘要系统研究蕴涵代数与代数之间的关系给出代数与代数之间的联系建立正则代数和对合代数的对偶代数关键词正则代数代数格蕴涵代数代数中图分类号文献标识码预备知识代数代数代数和格蕴涵代数等都是从不同的背景所引入的逻辑代数系统它们之间的关系在文献中都有所讨论本文中将进一步系统地研究代数与代数之间的关系并给出了代数与代数间的又一种联系此外着眼于代数和代数自身的内部结构还建立了正则代数与有界交换代数的对偶代数为方便起见本节先给出有关的一些定义和基本结果以备后面直接引用定义一个型代数称为代数若有在代数中下列各式成立代数的自然偏序关系记

2、为即显然是的最小元若有最大元记为则称代数为有界的并称为的单位元在有界代数中令若则称为对合代数从文知若为对合代数则收稿日期基金项目湖北省教育厅自然科学基金重点资助项目作者简介朱怡权男肇庆学院数学系教授研究方向软代数模糊系统与数学年关于交换代数和正定关联代数的定义见文并且由文得知代数是关联的当且仅当是交换和正定关联的又易知有界交换代数必为对合代数定义一个型代数称为蕴涵代数简称为代数如果有其中在代数中令称为的伪补若则称为正则代数称满足条件的代数为交换代数称满足条件的代数为关联代数从文得知代数具有性质而在正则代数中还有从而可得又对于代数是一个偏序集这里定义为此外交换代数必为正则代数这是因为在中令得关

3、于格蕴涵代数代数的定义及其基本性质参见文献代数与代数的关系文给出了代数与代数间的下列联系定理设为代数令则是有界代数为单位元反之设为有界代数为单位元令则为代数进一步我们不难得到定理设为代数为有界代数为单位元则证明设分别如定理所述则有由此可知类似可证注记设分别为代数和代数中的自然偏序关系文指出因而与与有与分别是相互对偶的并且在这种意义下代数界正定关联代数也是互为对偶的在代数为正则代数为对合的条件下我们还可以定义一种新的运算蕴涵运算使其具有保序性由于不致引起混淆以下仍采用上面的记号定理设是正则代数令则是对合代数且证明首先利用正则代数的性质来证明满足代数的公理第期朱怡权蕴涵代数与代数设则故从而故综上

4、所述的单位是一个代数又即为元而于是为对合代数此外我们有因此定理得证定理设是对合代数令则是正则代数且证明利用对合代数的性质我们有以上证明了是一个代数其中类似于定理的证明可得模糊系统与数学年还是正则的因此定理设是一个正则代数是一个对合代数则证明在与中同理可证与中的运算也是一致的证毕推论在定理中若是交换代数则是交换代数在定理中若是有界交换代数则是交换代数证明若是交换代数则是正则代数从而由定理得为对合代数进一步因为有所以再由的对合性得在此式中以分别代替可得到为有界交换代数即类似地可证明为有界交换代数时为交换代数推论获证推论若为正则代数则为有界关联代数若为有界关联代数则为正则代数证明由文中的定理和定理

5、得知代数为代数满足满足若为正则代数则由定理知是一个有界代数又是有界因此关联代数其次若为有界关联代数则由定理知为正则代数又从而为正则代数证毕实际上正则代数即是本文前面定义的关联代数命题设则为正则代数为关联代数证明文中的引理已证明正则代数必为关联代数反之设为关联代数我们来证明为正则代数为此先证明关联代数是交换代数事实上由得又由文中的定理得从而由以上最后两式及可以得到互换和得这就证明了即为交换代数由此得知是正则代数且有第期朱怡权蕴涵代数与代数因此由文中的定理得为代数注记对于有界代数与代数有界正定关联代数与代数相应于定理和定理的结论是否仍然成立尚不得而知对于同一个非平凡的正则代数定理和定理中所构造出

6、来的两个代数是不同的因为并非对所有都成立如时同样地对于同一个非平凡的对合代数定理和定理中所构造出来的两个代数也是不同的但是它们分别是同构和同构的定理设是正则代数是对合代数以和分别表示定理和定理定理中的代数代数则同构同构证明令则由的正则性易知是一个双射又这里与分别表示定理和定理中的运算因此是一个同构映射而其次令则由的对合性得是一个双射又与其中分别表示定理和定理中的蕴涵运算故为一个同构映射从而代数与代数的对偶代数本节讨论代数与代数的对偶结构定理设为对合代数为单位元令则为对合代数为单位元并且同构证明由定理定理定理可设正则代数使得这里并且即另一方面对于这里的正则代数按定理的方法也可构造一个有界代数为

7、单位元且有于是从而由定理得同构模糊系统与数学年因为是对合的所以是对合代数证毕完全类似地我们可得到下列定理设为正则代数令则为正则代数并且同构注记定理和定理分别刻画了对合代数与正则代数内部结构的特征我们称定理定理中的两个代数代数互为对偶代数因为不难看出它们中的序关系是互为对偶的还不难得知类似的结论对于有界交换关联代数和交换关联代数也是成立的代数与代数的关系文分别建立了正则代数与代数格蕴涵代数格蕴涵代数之间的联系在