高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式学案（含解析）新人教A版必修.doc

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1、3．1.3　二倍角的正弦、余弦、正切公式[提出问题]问题1：在公式C(α＋β)，S(α＋β)和T(α＋β)中，若α＝β，公式还成立吗？提示：成立．问题2：在上述公式中，若α＝β，你能得到什么结论？提示：cos2α＝cos2α－sin2α，sin2α＝2sinαcosα，tan2α＝.[导入新知]二倍角公式[化解疑难]细解“倍角公式”(1)要注意公式运用的前提是所含各三角函数有意义．(2)倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是的2倍．这里蕴含着换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．(3)注意倍

2、角公式的灵活运用，要会正用、逆用、变形用．化简求值[例1]　求下列各式的值：(1)sincos；(2)1－2sin2750°；(3)；(4)－；(5)cos20°cos40°cos80°.[解]　(1)原式＝＝＝.(2)原式＝cos(2×750°)＝cos1500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos60°＝.(3)原式＝tan(2×150°)＝tan300°＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－.(4)原式＝＝＝＝＝4.(5)原式＝＝＝＝＝.[类题通法]化简求值的四个方向三角函数的化简有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．[活学

3、活用]化简：(1)－；(2).答案：(1)tan2θ　(2)1条件求值[例2]　(1)已知cos＝，≤α<，求cos的值；(2)已知α∈，且sin2α＝sin，求α.[解]　(1)∵≤α<，∴≤α＋<.∵cos>0，∴<α＋<.∴sin＝－＝－＝－.∴cos2α＝sin2α＋＝2sinα＋cosα＋＝2×－×＝－，sin2α＝－cos＝1－2cos2＝1－2×2＝.∴cos＝cos2α－sin2α＝×＝－.(2)∵sin2α＝－cos＝－，sin＝－sin＝－cos＝－cos，∴原方程可化为1－2cos2α＋＝－cosα＋，解得cos＝1或cos＝－.∵α∈，∴α＋∈，故α

4、＋＝0或α＋＝，即α＝－或α＝.[类题通法]解决条件求值问题的方法条件求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．[活学活用]1．已知sinsin＝，α∈，求sin4α的值．答案：－2．已知sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1，求锐角α.答案：倍角公式的综合应用[例3]　已知向量a＝(sinA，cosA)，b＝(，－1)，a·b＝1，且A为锐角．(1)求角A的大小；(2)求函数f(x)＝cos2x＋4cosAsi

5、nx(x∈R)的值域．[解]　(1)由题意得a·b＝sinA－cosA＝1，2sin＝1，sin＝.由A为锐角得A－＝，所以A＝.(2)由(1)知cosA＝，所以f(x)＝cos2x＋2sinx＝1－2sin2x＋2sinx＝－22＋.因为x∈R，所以sinx∈[－1,1]，因此，当sinx＝时，f(x)有最大值.当sinx＝－1时，f(x)有最小值－3.所以所求函数f(x)的值域是.[类题通法]二倍角公式的灵活运用(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现．主要形式有：2sinαcosα＝sin2α，sinαcosα＝sin2α，cosα＝，cos

6、2α－sin2α＝cos2α，＝tan2α.(2)公式的变形用：公式间有着密切的联系，这就要求思考时融会贯通，有目的地活用公式．主要形式有：1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2，1＋cos2α＝2cos2α，cos2α＝，sin2α＝.[活学活用](福建高考节选)已知函数f(x)＝10sincos＋10cos2.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再向下平移a(a＞0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，且函数g(x)的最大值为2.求函数g(x)的解析式．答案：(1)2π　(2)g(

7、x)＝10sinx－8　　　　[典例]　已知cos＝，求的值．[解]　原式＝＝＝2sinxcosx＝sin2x.或原式＝＝＝＝sin2x.∵2x＝2－，∴sin2x＝sin＝－cos2.∵cos＝，∴cos2＝2cos2－1＝2×－1＝－，∴原式＝－＝.[多维探究]1．解决上面典例要注意角“2x”与“＋x”的变换方法，即sin2x＝－cos＝－cos；常见的此类变换，还有：(1)sin2x＝cos＝cos；(2)cos2x＝sin＝sin；(3)cos2x＝sin＝sin.2．倍角公式中的“倍角”是相对的．对于两个