等差数列等比数列的性质.doc

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1、3.4等差数列与等比数列的性质一、.等差数列的性质1若公差,则为递增等差数列,若公差,则为递减等差数列,若公差,则为常数列.2.若数列{an}成等差数列,则数列{Aan+B}也成等差数列.3.在等差数列{an}中,若m+n=p+q(m、n、p、q∈N*),则特别地,若m+n=2k,则与首末两项距离相等的两项之和相等,即a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…4.若数列{an}成等差数列,则数列{a2n-1},{a2n}、。。。也成等差数列.(下标成等差,对应的项也成等差)5.若等差数列{an}的前n项和为Sn,则数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m¡构成等差数列.ak,a

2、k+mak+2m,ak+3m,…成等差数列S2k-1=(2k-1)ak6若{an}、{bn}是等差数列,Sn为等差数列{an}的前n项和,则{pan+qbn}、{sn/n}是等差数列,(其中p、q是常数)7若{an}是等差数列,则(a≠0)成等比数列;若{an}是等比数列,且an>0,则{lgan}是等差数列.8在等差数列{an}中,当项数为偶数2n时;S偶-S奇=nd;项数为奇数2n-1时;S奇-S偶=a中,S2n-1=(2n-1)·a中(这里a中即an);S奇∶S偶=(k+1)∶k.9若等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn,且=f(n),则===f(2n-1)

3、.10“首正”的递减等差数列中,前n项和的最大值是所有非负项之和;“首负”的递增等差数列中,前n项和的最小值是所有非正项之和.思考:类比等差数列的基本性质,归纳总结等比数列的基本性质.二.等比数列的性质(1)当m+n=p+q时,则有,特别地,当m+n=2p时,则有与首末两项距离相等的两项之积相等,即a1an=a2an-1=a3an-2=…(2)若{an}是等比数列,则{kan}、{an2}、{1/an}成等比数列;注意:下标成等差,对应的项成等比(3)若{an}、{bn}成等比数列,则{anbn}、{}成等比数列;(4)若{an}是等比数列,且公比q≠-1,则数列SnS2n-Sn

4、S3n-S2n…也是数列.当q=-1,且n为偶数时,数列SnS2n-SnS3n-S2n…是常数数列0,它不是等比数列.(5)若a1>0,q>1,则{an}为数列;若a1<0,q>1,则{an}为数列;若a1>0,0

5、}中,当项数为偶数2n时,S偶=qS奇;项数为奇数2n-1时,S奇=a1+qS偶.(9)如果数列{an}既成等差数列又成等比数列,那么数列{an}是非零常数数列,故常数数列{an}仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件.1.等差数列{an}中,已知前15项的和S15=90,则a8等于()AB12CD62.等比数列{an}中,如果,则a1a9的值为()A.3B.9C.±3D.±93.设2a=3,2b=6,2c=12,那么数列a、b、c()A.是等比数列,但不是等差数列B.是等差数列,但不是等比数列C.既是等比数列,又是等差数列D.既不是等比数列,又不是等差数列4.(20

6、09·海南)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知am-1+am+1-a=0,S2m-1=38,则m=(  )A.38B.20C.10D.95.等差数列{an}的前n项和为Sn,若S2=2,S4=10,则S6等于(  )A.12B.18C.24D.426.有2n+1项的等差数列,其奇数项的和与偶数项的和之比为()7.若数列{an}(n∈N*)是等差数列,则数列bn=(n∈N*)也为等差数列.类比上述性质,相应地:若数列{cn}是等比数列,且cn>0(n∈N*),则有dn=___________(n∈N*)也是等比数列.8.已知等比数列{an}中,有a3a11=4a7,数列{bn}

7、是等差数列,且b7=a7,则b5+b9等于()A.2B.4C.8D.161.若三个数a,A,b成等差⇔2A=a+b;2.若三个数a,G,b成等比⇒G2=ab.例1设{an}是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和.若{Sn}是等差数列,则q=________.1.在等比数列{an}中,a1=2,前n项和为Sn.若数列{an+1}也是等比数列,则Sn等于( )A.2n+1-2B.3nC.2nD.3n-1虽然等差(比)数列的有关计算和证明,都可围绕其首项和公差(比)进行,但是熟练地掌

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