等差数列与等比数列的性质.doc

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1、3.4等差数列与等比数列的性质一、.等差数列的性质1若公差，则为递增等差数列，若公差,则为递减等差数列,若公差,则为常数列.2．若数列{an}成等差数列，则数列{Aan＋B}也成等差数列．3．在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，则特别地，若m+n=2k，则与首末两项距离相等的两项之和相等,即a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…4．若数列{an}成等差数列，则数列{a2n－1}，{a2n}、。。。也成等差数列．（下标成等差，对应的项也成等差）5．若等差数列{an}的前n项和为

2、Sn，则数列Sm,S2m－Sm,S3m－S2m¡构成等差数列．ak,ak+mak+2m,ak+3m,…成等差数列S2k-1=（2k-1）ak6若{an}、{bn}是等差数列，Sn为等差数列{an}的前n项和，则{pan+qbn}、{sn/n}是等差数列，（其中p、q是常数）7若{an}是等差数列，则(a≠0)成等比数列；若{an}是等比数列，且an>0，则{lgan}是等差数列.8在等差数列{an}中，当项数为偶数2n时;S偶-S奇=nd;项数为奇数2n-1时;S奇-S偶=a中，S2n-1=(2n-1)·a中(

3、这里a中即an);S奇∶S偶=(k+1)∶k.9若等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn,且=f(n),则===f(2n-1).10“首正”的递减等差数列中,前n项和的最大值是所有非负项之和;“首负”的递增等差数列中,前n项和的最小值是所有非正项之和.思考：类比等差数列的基本性质，归纳总结等比数列的基本性质．二.等比数列的性质(1)当m+n=p+q时，则有,特别地，当m+n=2p时，则有与首末两项距离相等的两项之积相等,即a1an=a2an-1=a3an-2=…(2)若{an}是等比数列，则{ka

4、n}、{an2}、{1/an}成等比数列；注意：下标成等差，对应的项成等比(3)若{an}、{bn}成等比数列，则{anbn}、{}成等比数列;(4)若{an}是等比数列,且公比q≠-1,则数列SnS2n-SnS3n-S2n…也是数列.当q=-1,且n为偶数时,数列SnS2n-SnS3n-S2n…是常数数列0,它不是等比数列.(5)若a1>0,q>1,则{an}为数列；若a1<0,q>1,则{an}为数列;若a1>0,0

5、an}为摆动数列；若q=1,则{an}为数列.(6)当q≠１时,Sn=qn+=aqn+b,这里a+b=0，但a≠0，b≠0，这是等比数列前n项和公式的一个特征，据此很容易根据Sn判断数列{an}是否为等比数列.(7)Sm+n=Sm+qmSn=Sn+qnSm.(8)在等比数列{an}中，当项数为偶数2n时，S偶=qS奇；项数为奇数2n-1时,S奇=a1+qS偶.(9)如果数列{an}既成等差数列又成等比数列，那么数列{an}是非零常数数列，故常数数列{an}仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件.1．

6、等差数列{an}中，已知前15项的和S15=90，则a8等于（）AB12CD62．等比数列{an}中，如果,则a1a9的值为（）A．3B．9C．±3D．±93．设2a=3，2b=6，2c=12，那么数列a、b、c（）A．是等比数列，但不是等差数列B．是等差数列，但不是等比数列C．既是等比数列，又是等差数列D．既不是等比数列，又不是等差数列4．(2009·海南)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m＝(　　)A．38B．20C．10D．95．等差数列{an}的前n

7、项和为Sn，若S2＝2，S4＝10，则S6等于(　　)A．12B．18C．24D．426．有2n＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为()7．若数列{an}(n∈N*)是等差数列，则数列bn＝(n∈N*)也为等差数列．类比上述性质，相应地：若数列{cn}是等比数列，且cn＞0(n∈N*)，则有dn＝___________(n∈N*)也是等比数列．8.已知等比数列{an}中，有a3a11=4a7，数列{bn}是等差数列,且b7=a7,则b5+b9等于（）A.2B.4C.8D.161.若三个数a，A，b成

8、等差⇔2A＝a＋b；2．若三个数a，G，b成等比⇒G2＝ab.例1设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．若{Sn}是等差数列，则q＝________.1.在等比数列{an}中，a1＝2，前n项和为Sn.若数列{an＋1}也是等比数列，则Sn等于(　)A．2n＋1－2B．3nC．2nD．3n－1虽然等差(比)数列的有关计算和证明，都可围绕其首项和公差(比)进行，但是熟练地掌