2020版数学《课堂讲义》北师大版选修4-4讲义：第二讲 参数方程 3 参数方程化成普通方程 .pdf

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1、§3参数方程化成普通方程1.代数法消去参数(1)这种方法是从参数方程中选出一个方程，解出参数，然后把参数的表达式代入另一个方程，消去参数，得到曲线的普通方程.我们通常把这种方法称为代入法.(2)通过代数方法，如乘、除、乘方等把参数方程中的方程适当地变形，然后把参数方程中的两个方程进行代数运算.消去参数.2.利用三角恒等式消去参数如果参数方程中的x，y都表示为参数的三角函数，那么可以考虑用三角函数公式中的恒等式消去参数，这是参数方程转化为普通方程的基本方法之一.【思维导图】【知能要点】1.代数法消去参数把参数方程化为普通方程.

2、2.利用三角恒等式消去参数把参数方程化为普通方程.题型一代数法消去参数这种方法的基本方法是由参数方程中的一个方程，解出参数，然后代入另一个参数方程中得普通方程，这种方法思路简单，可能运算量大.其次就是把参数方程适当地变形，然后把两参数方程进行代数运算消去参数，这种方法运算量小，但往往需要提前进行适当的变形.【例1】把参数方程化为普通方程.1x＝1＋t，2(1)3y＝5＋t；2（1－k2）rx＝，1＋k2(2)2kry＝.1＋k2133解(1)由x＝1＋t得t＝2x－2代入y＝5＋t中得y＝5＋(2x－2)

3、，222即：3x－y＋5－3＝0就是它的普通方程.（1－k2）r（1－k2）2r2x＝，x2＝，1＋k2（1＋k2）2(2)2kr4k2r2y＝y2＝，1＋k2（1＋k2）2（1－2k2＋k4）r2＋4k2r2（1＋2k2＋k4）r2得x2＋y2＝＝＝r2.（1＋k2）2（1＋k2）2∴x2＋y2＝r2就是它的普通方程.【反思感悟】用代数法消去参数有时用一个参数方程解析出参数太复杂，如第(2)小题，这时为了减少运算量，就要对参数方程的两个式子进行适当变形.即两边取平方.然后相加消去参数.1.将下列参数方程

4、化成普通方程.t＋1px＝，x＝＋pt2，t－1x＝2t2－t－3，t2(1)(2)(3)2ty＝t2－t－1；py＝；y＝－pt.t3－1tt＋1x＋12t（x＋1）（x－1）2解(1)由x＝，得t＝.代入y＝化简得y＝(x≠1).t－1x－1t3－13x2＋1(2)由x－2y＝t－1得t＝x－2y＋1，代入y＝t2－t－1化简得x2－4xy＋4y2＋x－3y－1＝0.pp2pp(3)将y＝－pt的两边平方得y2＝＋p2t2－2p2＝p＋pt2－2p2，以x＝＋pt2tt2t2t2代入

5、上式，得y2＝p(x－2p).题型二利用三角恒等式消去参数利用这种方法消去参数必须是x，y都表示成参数的三角函数，然后利用三角函数的恒等变形式消去参数，这种方法大部分都要对两个参数方程先进行适当的变形，然后进行代数运算消去参数，化为普通方程.【例2】将下列曲线的参数方程化为普通方程，并指明曲线的类型.x＝acosθ，(1)(θ为参数，a，b为常数，且a＞b＞0)；y＝bsinθax＝，(2)cosφ(φ为参数，a，b为正常数)；y＝btanφx＝2pt2，(3)(t为参数，p为正常数).y＝2ptx2y

6、2解(1)由cos2θ＋sin2θ＝1得＋＝1这是一个长轴长为2a，短轴长为2b，中a2b2心在原点的椭圆.1xy12(2)由已知＝，tanφ＝，由于－tan2φ＝1，cosφabcosφx2y2∴有－＝1这是一条双曲线.a2b2yy2(3)由已知t＝代入x＝2pt2中得·2p＝x，2p4p2即y2＝2px，这是一条抛物线.【反思感悟】用三角恒等式法把参数方程转化为普通方程时，要特别注意保证等价性.2.化下列参数方程为普通方程，并作出曲线的草图.1x＝sin2θ，(1)2(θ为参数)；y＝sinθ＋co

7、sθ1x＝，t(2)(t为参数).1y＝t2－1t解(1)由y2＝(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin2θ＝1＋2x得y2＝2x＋1，111∵－≤sin2θ≤，22211∴－≤x≤.22∵－2≤sinθ＋cosθ≤2，∴－2≤y≤2.1故所求普通方程为y2＝2x＋211－≤x≤，－2≤y≤2，图形为抛物线的一部分.2212121t2－1(2)由x2＋y2＝＋t2－1＝1及x＝≠0，xy＝≥0知，tttt2所求轨迹为两部分圆弧x2＋y2＝1(0＜x≤1，0≤y＜1或－1

8、≤x＜0，－1＜y≤0).x＝1＋cos2θ，1.若曲线(θ为参数)，则点(x，y)的轨迹是()y＝sin2θA.直线x＋2y－2＝0B.以(2，0)为端点的射线C.圆(x－1)2＋y2＝1D.以(2，0)和(0，1)为端点的线段解析x＝1＋cos2θ＝1＋1－2sin2θ＝2－2y