2020版数学《课堂讲义》北师大版选修4-4讲义：第二讲 参数方程 2 直线和圆锥曲线的参数方程 .pdf

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1、§2直线和圆锥曲线的参数方程2.1直线的参数方程2.2圆的参数方程1.直线的参数方程(1)经过点P(x，y)、倾斜角是α的直线的参数方程为00x＝x＋tcosα，0(t为参数)①y＝y＋tsinα0其中M(x，y)为直线上的任意一点，参数t的几何意义是从点P到M的位移，可→以用有向线段PM的数量来表示.(2)经过两个定点Q(x，y)，P(x，y)(其中x≠x)的直线的参数方程为112212x＋λxx＝12，1＋λ(λ为参数，λ≠－1).y1＋λy2y＝1＋λ→其中M(x，y)为直线上的任意一点，参数λ的几何意义是动点M分有向线段QP的QM数量比.M

2、P当λ＞0时，M为内分点；当λ＜0且λ≠－1时，M为外分点；当λ＝0时，点M与Q重合.2.圆的参数方程x＝rcosα，(1)圆心在原点、半径为r的圆的参数方程(α为参数).y＝rsinα参数α的几何意义是OP与x轴正方向的夹角.(2)去掉圆与x轴负半轴交点，圆心在原点、半径为r的圆的参数方（1－k2）rx＝，1＋k2程.(k为参数)参数k的几何意义是直线AP的斜率.2kry＝1＋k2【思维导图】【知能要点】1.直线的参数方程.2.直线的参数方程的应用.3.圆的参数方程及应用.题型一直线的参数方程x＝x＋tcosα，0直线的参数方程(α为参数)中

3、，α，x，y都是常数，对于同一＋tsinα00y＝y0直线，选取的参数不同，会得到不同的参数方程.对于直线普通方程y＝2x＋1，x＝t，t如果令x＝t，可得到参数方程(t为参数)；如果令x＝，可得到参数方y＝2t＋12tx＝，程2(t为参数).这样的参数方程中的t不具有一定的几何意义，但是在实y＝t＋1际应用中有时能够简化某些运算.例如，动点M做匀速直线运动，它在x轴和y轴方向的分速度分别为9和12，点M从A点(1，1)开始运动，求点M的轨迹的x＝1＋9t，参数方程.点M的轨迹的参数方程可以直接写为(t为参数).y＝1＋12t2x＝－4

4、＋t，2【例1】设直线的参数方程为(t为参数)，2y＝t2点P在直线上，且与点M(－4，0)的距离为2，若该直线的参数方程改写成0x＝－4＋t，(t为参数)，则在这个方程中点P对应的t值为________.y＝t解析由

5、PM

6、＝2知t＝±2，代入第一个参数方程，得点P的坐标分别为(－3，01)或(－5，－1)，再把点P的坐标代入第二个参数方程可得t＝1或t＝－1.答案±1【反思感悟】直线参数方程的标准形式中的参数具有相应的几何意义，本题正是使用了其几何意义，简化了运算，这也正是直线参数方程标准式的优越性所在.1.已知直线l的方程为3x－4y＋1＝0，点

7、P(1，1)在直线l上，写出直线l的参数方程，并求点P到点M(5，4)和点N(－2，6)的距离.3解由直线方程3x－4y＋1＝0可知，直线的斜率为，设直线的倾斜角为α，则4334tanα＝，sinα＝，cosα＝.又点P(1，1)在直线l上，所以直线l的参数方程为4554x＝1＋t，5(t为参数).3y＝1＋t5因为3×5－4×4＋1＝0，所以点M在直线l上.4由1＋t＝5，得t＝5，即点P到点M的距离为5.5因为点N不在直线l上，故根据两点之间的距离公式，可得

8、PN

9、＝（1＋2）2＋（1－6）2＝34.π【例2】已知直线l经过点P(1，1)，倾斜角α＝

10、，6(1)写出直线l的参数方程；(2)设l与圆x2＋y2＝4相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积.3x＝1＋t，2解(1)直线的参数方程是(t是参数).1y＝1＋t2(2)因为点A，B都在直线l上，所以可设它们对应的参数为t和t，则点A，B1231的坐标分别为A1＋t，1＋t，212131B1＋t，1＋t.2222以直线l的参数方程代入圆的方程x2＋y2＝4，整理得到t2＋(3＋1)t－2＝0.①因为t和t是方程①的解，从而tt＝－2.1212所以

11、PA

12、·

13、PB

14、＝

15、tt

16、＝

17、－2

18、＝2.12【反思感悟】本题P到A、B

19、两点的距离就是参数方程中t的两个值，可以充分利用参数的几何意义.3x＝－3＋t，22.已知直线l：(t为参数).1y＝2＋t2(1)分别求t＝0，2，－2时对应的点M(x，y)；(2)求直线l的倾斜角；(3)求直线l上的点M(－33，0)对应的参数t，并说明t的几何意义.3x＝－3＋t，2解(1)由直线l：(t为参数)知当t＝0，2，－2时，1y＝2＋t2分别对应直线l上的点(－3，2)，(0，3)，(－23，1).3x＝－3＋t，23(2)法一化直线l：(t为参数)为普通方程为y－2＝(x＋3)，13y＝2＋t23其中k＝tanα＝

20、，0≤α<