2020版数学《课堂讲义》北师大版选修4-4讲义：第二讲 参数方程 1 参数方程的概念 .pdf

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1、【综合评价】参数方程是以参变量为中介来表示曲线上的点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式．某些曲线上点的坐标，用普通方程描述它们之间的关系比较困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解，而用参数方程来描述曲线上点的坐标的间接关系比较方便，学习参数方程有助于学生进一步体会数学方法的灵活多变，提高应用意识和实践能力．【学习目标】1.通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义.并掌握参数方程的概念.2.分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程.3.举例说明某些曲线用参数方程

2、表示比用普通方程表示更方便，更能感受参数方程的优越性.4.借助教具或计算机软件，观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹(平摆线)、直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹(渐开线)，了解平摆线和渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程.5.通过阅读材料，了解其他摆线(变幅平摆线、变幅渐开线、外摆线、内摆线、环摆线)的生成过程；了解摆线在实际中应用的实例(例如，最速降线是平摆线，椭圆是特殊的内摆线——卡丹转盘，圆摆线齿轮与渐开线齿轮，收割机、翻土机等机械装置的摆线原理与设计，星形线与公共汽车门)；了解摆线在刻画行星运动轨道中的作用.【学习计划】内容学习重点建议学习

3、时间参数方程的概念参数方程的概念1课时直线的参数，圆的参数方程，直线和圆锥曲线的参数方程椭圆的参数方程，双曲线的参5课时数方程参数方程化成普通方程参数方程和普通方程的互化2课时平摆线和渐开线平摆线、渐开线2课时§1参数方程的概念1.参数方程的概念(1)一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x，y)都是某个变数t的函数x＝f（t），①y＝g（t），并且对于t取的每一个允许值，由方程组①所确定的点P(x，y)都在这条曲线上，那么方程组①就叫作这条曲线的参数方程，联系x，y之间关系的变数t叫作参变数，简称参数.相对于参数方程，我们把直接用

4、坐标(x，y)表示的曲线方程f(x，y)＝0叫作曲线的普通方程.(2)在参数方程中，应明确参数t的取值范围.对于参数方程x＝f(t)，y＝g(t)来说，如果t的取值范围不同，它们表示的曲线可能是不相同的.如果不明确写出其取值范围，那么参数的取值范围就理解为x＝f(t)和y＝g(t)这两个函数的自然定义域的交集.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致.【思维导图】【知能要点】1.参数方程的概念.2.求曲线的参数方程.3.参数方程和普通方程的互化.题

5、型一参数方程及其求法1.曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、纵坐标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x、y间的间接联系.在具体问题中的参数可能有相应的几何意义，也可能没有什么明显的几何意义.曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点，反过来对于曲线上任一点也必然对应着其中的参数的相应的允许取值.2.求曲线参数方程的主要步骤：第一步，画出轨迹草图，设M(x，y)是轨迹上任意一点的坐标.画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系.第二步，选择适当的参数.参数的选择要考虑以下

6、两点：一是曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x，y的值可以由参数惟一确定.第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略.π【例1】设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆作匀角速度运动，角速度为60rad/s.试以时间t为参数，建立质点运动轨迹的参数方程.解如图所示，运动开始时质点位于点A处，此时t＝0，设动x＝2cosθ，点M(x，y)对应时刻t，由图可知y＝2sinθ，πx＝2cost，π60又θ＝t(t的单位：S)，故参数方程为60πy＝2sint.6

7、0【反思感悟】以时间t为参数，在图形中分别寻求动点M的坐标和t的关系.1.已知定直线l和线外一定点O，Q为直线l上一动点，△OQP为正三角形(按逆时针方向转，如图所示)，求点P的轨迹方程.解以O点为原点，过点O且与l垂直的直线为x轴，过点O与l平行的直线为y轴建立直角坐标系.设点O到直线l的距离为d(为定值，且d>0)，取∠xOQ＝θ为参数，ππθ∈－，，22设动点P(x，y).在Rt△OQN中，d∵

8、OQ

9、＝，

10、OP

11、＝

12、OQ

13、，cosθπ∠xOP＝θ＋，3π∴x＝

14、OP

15、cos＋θ3dπ＝·cos＋θcosθ3

16、13＝－tanθ·d，22πdπy＝

17、OP

18、·sin＋θ＝·sin＋θ