2020版数学《课堂讲义》北师大版选修4-4讲义：第二讲 参数方程 2.3 椭圆的参数方程 .pdf

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1、2.3椭圆的参数方程2.4双曲线的参数方程1.椭圆的参数方程x2y2x＝acosφ，(1)椭圆＋＝1的参数方程为(φ为参数)，参数的几何意义是以aa2b2y＝bsinφ为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与x轴正半轴的夹角.x＝x＋acosφ，0(2)中心在C(x，y)的椭圆的参数方程是(φ为参数).00＋bsinφy＝y02.双曲线的参数方程ax2y2x＝，中心在原点，焦点在x轴上的双曲线－＝1的参数方程为cosφ(φ为参a2b2y＝btanφπ3数)，规定φ的取值范围为φ∈[0，2π)且φ≠，φ≠π.22【思维导图】【知能要点】1.椭圆的参数方程.2.双曲

2、线的参数方程.题型一椭圆的参数方程x＝rcosθ，1.和圆的参数方程中的参数θ是半径OM的旋转角不同，椭圆参数y＝rsinθx＝acosφ，方程中的参数φ是椭圆上点M的离心角.y＝bsinφ（x－m）2（y－n）2x＝m＋acosφ，2.椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程为(φ为参a2b2y＝n＋bsinφ数).x2y2【例1】已知A、B分别是椭圆＋＝1的右顶点和上顶点，369动点C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹的普通方程.解由动点C在该椭圆上运动，故据此可设点C的坐标为(6cosθ，3sinθ)，点G的坐标为(x，y)，则由题意可知点A(6，0)，B

3、(0，3).由重心坐标公式可知6＋0＋6cosθx＝＝2＋2cosθ，30＋3＋3sinθy＝＝1＋sinθ.3（x－2）2由此消去θ得到＋(y－1)2＝1即为所求.4【反思感悟】本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性.运用参数方程显得很简单，运算更简便.x2y21.设F、F分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点.12a2b23(1)若椭圆C上的点A1，到F、F距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦212点坐标；(2)设P是(1)中椭圆上的动点，求线段FP的中点的轨迹方程.1解(1)由椭圆上点A到F、F的距离之和是4，12得2a＝4，即

4、a＝2.3又点A1，在椭圆上，22312因此＋＝1，得b2＝3，4b2于是c2＝a2－b2＝1，x2y2所以椭圆C的方程为＋＝1，43焦点坐标为F(－1，0)，F(1，0).12(2)设椭圆C上的动点P的坐标为(2cosθ，3sinθ)，线段FP的中点坐标为(x，y)，12cosθ－13sinθ＋0则x＝，y＝，2212y所以x＋＝cosθ，＝sinθ.2324y21消去θ，得x＋＋＝1，这就是线段FP的中点的轨迹方程.231题型二双曲线的参数方程ax＝，与椭圆类似，双曲线的参数方程cosφ(φ为参数)中φ的几何意义也是双曲y＝bta

5、nφ线上一点M的离心角.x2y2【例2】直线AB过双曲线－＝1的中心O，与双曲线交于A，B两点，P是a2b2双曲线上的任意一点.求证：直线PA，PB的斜率的乘积为定值.证明如图所示，aa设P，btanα，A，btanθ.cosαcosθ∵AB过原点O，∴A，B的坐标关于原点对称，a于是有B－，－btanθ，cosθb（tanα－tanθ）b（tanα＋tanθ）从而：k·k＝·PAPB1111a－a＋cosαcosθcosαcosθb2（tan2α－tan2θ）b2＝＝为定值.11a2a2－cos2αcos2θ

6、【反思感悟】本例的求解充分利用了双曲线的参数方程.一般地，当与二次曲线上的动点有关时，可将动点用参数形式表示，从而将x，y都表示为某角θ的函数，运用三角知识求解，可大大减少运算量，收到事半功倍的效果.x2y22.如图所示，设M为双曲线－＝1(a，b＞0)上任意一点，O为原点，过点Ma2b2作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A，B两点.探求平行四边形MAOB的面积，由此可以发现什么结论？b解双曲线的渐近线方程为y＝±x.a不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为a，btanφ，则直线MA的方程为cosφbay－btanφ＝－x－.①acosφb将y＝

7、x代入①，解得点A的横坐标为aa1x＝－tanφ.A2cosφa1同理可得，点B的横坐标为x＝－tanφ.B2cosφb设∠AOx＝a，则tanα＝.a所以，▱MAOB的面积为S＝

8、OA

9、·

10、OB

11、sin2α▱MAOBxx＝A·B·sin2αcosαcosα1a2－tan2φcos2φ＝·sin2α4cos2αa2a2bab＝·tanα＝·＝.22a2由此可见，平行四边形MAOB的面积恒为定值，与点M在双曲线上的位置无关.题型三参数方程的应用