2018-2019学年重庆市巴蜀中学高一(下)期末数学试卷.docx

《2018-2019学年重庆市巴蜀中学高一(下)期末数学试卷.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

2018-2019学年重庆市巴蜀中学高一（下）期末数学试卷一、选择题（本题12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知向量AB→=(1，k)，CD→=(4，1)，若AB→⊥CD→，则k＝（　　）A．14B．4C．-14D．﹣42．（5分）已知命题p：∀x∈（1，+∞），x﹣ex＜0，则￢p为（　　）A．∀x∈（﹣∞，1]，x﹣ex≥0B．∃x0∈(1，+∞)，x0-ex0≥0C．∀x∈（1，+∞），x﹣ex≥0D．∃x0∈(-∞，1]，x0-ex0≥03．（5分）已知a＞0＞b，下列不等式一定成立的是（　　）A．a2＞b2B．a﹣b＞1C．|c|a＞|c|bD．a3＞b34．（5分）若等差数列{an}满足a3+a2019＝4，则{an}的前2021项之和S2021＝（　　）A．2021B．2020C．4042D．40405．（5分）在△ABC中，已知a＝3，A＝30°，则△ABC的外接圆面积等于（　　）A．9πB．36πC．6πD．24π6．（5分）已知角α∈(0，π2)，则1sin2α+1cos2α的最小值为（　　）A．2B．1C．4D．37．（5分）已知实数x，y满足约束条件x-y-1≤02x+y-2≥0x+2y-4≤0，则z＝x﹣y的最小值为（　　）A．﹣3B．﹣2C．1D．28．（5分）已知直线11：x+（m+1）y+m＝0，l2：mx+2y+1＝0，则11∥l2“的一个必要不充分条件是（　　）A．m＝﹣2B．m＝1C．m＝﹣2或m＝1D．m＝2或m＝19．（5分）已知实数m≥2，则直线l：mx+y+2＝0与圆C：（x+1）2+（y﹣m）2＝m的位置关系为（　　）A．相交B．相切C．相离D．相交或相切10．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且角B=π3，c＝3，则△ABC的内切圆周长为（　　） A．3π2B．3π4C．3π4D．3π11．（5分）若圆C1：(x-m)2+(y-1)2=10(m＞0)始终平分圆C2：(x+1)2+(y+1)2=2的周长，则直线3x+4y+3＝0被圆C1所截得的弦长为（　　）A．25B．26C．22D．2312．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，使所得(2+22)bcosAcosC=acosBcosC+ccosAcosB，则角B的最小值为（　　）A．π4B．π6C．π3D．5π12二、填空题（本题4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知单位向量a→，b→夹角为π3，则|a→-b→|=　　．14．（5分）已知直线l1：3x+4y+2＝0，l2：6x+8y+5＝0，则l1与l2之间的距离为　　．15．（5分）已知数列{an}满足：a1＝1，且对任意的m，n∈N*，都有：am+n＝am+an+mn，则a19＝　　．16．（5分）已知点P为△ABC内的一点，且AP→=14AB→+23AC→，则S△ACPS△ABC=　　．三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余各题12分，满分70分）17．（10分）已知圆C：(x-m2)2+(y-4)2=m24-12，圆心在直线4x﹣y﹣12＝0上．（1）求圆C的标准方程；（2）若直线l经过点A（6，0），且与圆C相切，求直线l的方程．18．（12分）在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m→=(sinA，-a)，n→=(b，cosB)，m→⋅n→=a．（1）求角B；（2）若b＝3，且sin（C+A）+sin（C﹣A）＝2sin2A，求△ABC的面积．19．（12分）已知数列{an}为等比数列，公比q＞0，Sn为其前n项和，且a1＝4，S3＝28．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足：bn=n⋅an(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn．20．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若a=2，b=1，A=π4，求角B； （2）若sin(A+B+π6)=12，a+b=4，求△ABC周长的取值范围．21．（12分）已知数列{an}各项均为正数，前n项和为Sn，且Sn满足：∀n∈N*，4Sn=an2+2an．（1）求a1的值及数列{an}的通项公式；（2）若bn=1n(n+1)2(n∈N*)，且cn＝an×bn．证明：对一切正整数n，有c1+c2+⋯+cn-1+cn＜32．22．（12分）已知圆O：x2+y2＝4，直线l过点M（3，3），且l⊥OM．（1）若点N（x0，y0）上直线l的动点，在圆O上是否存在一点E，使得∠ONE＝30°，若现在，求y0的取值范围；若不存在，请说明理由．（2）过点F（1，0）作两条互相垂直的直线，分别交圆O于A，C和B，D，设线段AC，DB的中点分别为P、Q，求证：直线PQ恒过一个定点． 2018-2019学年重庆市巴蜀中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知向量AB→=(1，k)，CD→=(4，1)，若AB→⊥CD→，则k＝（　　）A．14B．4C．-14D．﹣4【解答】解：∵AB→⊥CD→；∴AB→⋅CD→=4+k=0；∴k＝﹣4．故选：D．2．（5分）已知命题p：∀x∈（1，+∞），x﹣ex＜0，则￢p为（　　）A．∀x∈（﹣∞，1]，x﹣ex≥0B．∃x0∈(1，+∞)，x0-ex0≥0C．∀x∈（1，+∞），x﹣ex≥0D．∃x0∈(-∞，1]，x0-ex0≥0【解答】解：命题为全称命题，则命题p：∀x∈（1，+∞），x﹣ex＜0，则￢p为：∃x0∈(1，+∞)，x0-ex0≥0．故选：B．3．（5分）已知a＞0＞b，下列不等式一定成立的是（　　）A．a2＞b2B．a﹣b＞1C．|c|a＞|c|bD．a3＞b3【解答】解：因为a＞0＞b，取a＝1，b＝﹣2，则可以排除A，B，当c＝0时，C选项不成立，由a＞0＞b可知a3＞b3，故D正确．故选：D．4．（5分）若等差数列{an}满足a3+a2019＝4，则{an}的前2021项之和S2021＝（　　）A．2021B．2020C．4042D．4040【解答】解：由数列{an}为等差数列，得a1+a2021＝a3+a2019＝4， ∴S2021=(a1+a2021)×20212=2×2021=4042．故选：C．5．（5分）在△ABC中，已知a＝3，A＝30°，则△ABC的外接圆面积等于（　　）A．9πB．36πC．6πD．24π【解答】解：△ABC中，已知a＝3，A＝30°，则asinA=2R=6，解得R＝3，所以S＝πR2＝9π，故选：A．6．（5分）已知角α∈(0，π2)，则1sin2α+1cos2α的最小值为（　　）A．2B．1C．4D．3【解答】解：角α∈(0，π2)，2α∈（0，π），则1sin2α+1cos2α=4sin22α，当α=π4时，表达式取得最小值：4．故选：C．7．（5分）已知实数x，y满足约束条件x-y-1≤02x+y-2≥0x+2y-4≤0，则z＝x﹣y的最小值为（　　）A．﹣3B．﹣2C．1D．2【解答】解：作出实数x，y满足约束条件x-y-1≤02x+y-2≥0x+2y-4≤0，对应的平面区域如图：由z＝x﹣y得y＝x﹣z．平移直线y＝x﹣z，由图象可知当直线＝x﹣z经过点A时，直线的截距最大，此时z最小．由2x+y-2=0x+2y-4=0，解得A（0，2），此时zmin＝0﹣2＝﹣2，故选：B． 8．（5分）已知直线11：x+（m+1）y+m＝0，l2：mx+2y+1＝0，则11∥l2“的一个必要不充分条件是（　　）A．m＝﹣2B．m＝1C．m＝﹣2或m＝1D．m＝2或m＝1【解答】解：∵直线l1：x+（m+1）y+m＝0，l2：mx+2y+1＝0，若l1∥l2，则m（m+1）﹣2＝0，解得：m＝﹣2或m＝1当m＝1时，l1与l2重合，故“l1∥l2”⇔“m＝﹣2”，故“l1∥l2”的必要不充分条件是“m＝﹣2或m＝1”，故选：C．9．（5分）已知实数m≥2，则直线l：mx+y+2＝0与圆C：（x+1）2+（y﹣m）2＝m的位置关系为（　　）A．相交B．相切C．相离D．相交或相切【解答】解：根据题意得：圆C的圆心为（﹣1，m），半径为r=m，则圆心到直线l的距离为：d=21+m2；若要判断直线l与圆C的位置关系即是判断d与r的大小关系，即判断m与21+m2的大小关系，⇔判断m(1+m2)与2的大小关系⇔判断m3+m与4的大小关系；令函数f（m）＝m3+m，则f′（m）＝3m2+1＞0在m≥2时恒成立，∴函数的最小值为f（2）=22+2=32＞4，∴m＞21+m2⇒r＞d；∴直线l与圆C相交．故选：A． 10．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且角B=π3，c＝3，则△ABC的内切圆周长为（　　）A．3π2B．3π4C．3π4D．3π【解答】解：根据题意，在△ABC中，若a，b，c成等比数列，则b2＝ac，若B=π3，则有b2＝a2+c2﹣2accosB＝a2+c2﹣ac＝ac，变形可得（a﹣c）2＝0，即a＝c，又由B=π3，则△ABC为边长为3的等边三角形，则△ABC的高为3×32=332，故其内切圆半径r=13×332=32，则△ABC的内切圆周长为l＝2πr=3π；故选：D．11．（5分）若圆C1：(x-m)2+(y-1)2=10(m＞0)始终平分圆C2：(x+1)2+(y+1)2=2的周长，则直线3x+4y+3＝0被圆C1所截得的弦长为（　　）A．25B．26C．22D．23【解答】解：由圆C1：(x-m)2+(y-1)2=10(m＞0)，得x2+y2﹣2mx﹣2y+m2﹣9＝0，由圆C2：(x+1)2+(y+1)2=2，得x2+y2+2x+2y＝0．把两圆的方程相减即得两圆公共弦所在直线l方程为（2m+2）x+4y﹣m2+9＝0，由题意知直线l经过圆C2的圆心（﹣1，﹣1），因而m2+2m﹣3＝0．∵m＞0，∴解得m＝1．∴圆C1的圆心坐标为（1，1），半径为10．圆心到直线3x+4y+3＝0的距离d=|3×1+4×1+3|32+42=2．∴直线3x+4y+3＝0被圆C1所截得的弦长为2×10-4=26．故选：B．12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，使所得(2+22)bcosAcosC=acosBcosC+ccosAcosB，则角B的最小值为（　　）A．π4B．π6C．π3D．5π12【解答】解：(2+22)bcosAcosC=acosBcosC+ccosAcosB，由正弦定理可得：（2+22）sinBcosAcosC＝sinAcosBcosC+sinCcosBcosA，∴（2+22）sinBcosAcosC＝cosB（sinAcosC+sinCcosA）＝cosBsin（A+C）＝cosBsinB， ∵sinB≠0，∴（2+22）cosAcosC＝cosB＝﹣cos（A+C），∴角A，B，C都为锐角，化为：tanAtanC＝3+22．∴tanA+tanC≥2tanA⋅tanC=23+22=2（2+1），当且仅当tanA＝tanC=2+1时取等号．∴tanB＝﹣tan（A+C）=-tanA+tanC1-tanAtanC=tanA+tanC2+22≥2(2+1)2+22=1，B∈（0，π），∴π4≤B＜π2．∴角B的最小值为π4．故选：A．二、填空题（本题4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知单位向量a→，b→夹角为π3，则|a→-b→|=　1　．【解答】解：单位向量a→，b→夹角为π3，则|a→-b→|=a→2-2a→⋅b→+b→2=1-2×1×1×12+1=1．故答案为：1．14．（5分）已知直线l1：3x+4y+2＝0，l2：6x+8y+5＝0，则l1与l2之间的距离为　110　．【解答】解：直线l1：3x+4y+2＝0，l2：6x+8y+5＝0，则l1与l2之间的距离为：52-232+42=110．故答案为：110．15．（5分）已知数列{an}满足：a1＝1，且对任意的m，n∈N*，都有：am+n＝am+an+mn，则a19＝　190　．【解答】解法一：数列{an}满足：a1＝1，且对任意的m，n∈N*，都有：am+n＝am+an+mn，∴a2＝3， a3＝6，a4＝10，a8＝36，a16＝136，a19＝190，解法二：数列{an}满足：a1＝1，且对任意的m，n∈N*，都有：am+n＝am+an+mn，令m＝1，可得a1+n＝a1+an+n，an＝a1+an﹣1+n﹣1，an﹣1＝a1+an﹣2+n﹣2，…a2＝a1+a1+1，累加可得：an＝（n﹣1）a1+a1+1+2+…+n﹣1可得an=n(n+1)2．∴a19＝190，故答案为：19016．（5分）已知点P为△ABC内的一点，且AP→=14AB→+23AC→，则S△ACPS△ABC=　14　．【解答】解：取AB的四等分点为E，取AC的三等分点为F，以AE，AF为相邻两边作平行四边形AFPE，作EG⊥AC，BH⊥AC，由图可知：EGBH=AEAB=14，故答案为：14．三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余各题12分，满分70分） 17．（10分）已知圆C：(x-m2)2+(y-4)2=m24-12，圆心在直线4x﹣y﹣12＝0上．（1）求圆C的标准方程；（2）若直线l经过点A（6，0），且与圆C相切，求直线l的方程．【解答】解：（1）由题意可得：圆心坐标（m2，4），圆心在直线4x﹣y﹣12＝0上，所以4•m2-4﹣12＝0⇒m＝8所以圆的标准方程为：（x﹣4）2+（y﹣4）2＝4（2）斜率不存在时x＝6，显然圆心（4，4）到x＝6的距离为2，正好等于半径，所以x＝6是其中一条切线；当斜率存在时，设斜率为k，则过A点的直线方程为：y＝k（x﹣6），即kx﹣y﹣6k＝0，圆心到直线的距离等于半径2，|4k-4-6k|k2+1=2⇒（k+2）2＝k2+1⇒k=-34，所以直线l的方程是3x+4y﹣18＝0．综上，所求的切线方程是：x＝6或3x+4y﹣18＝0．18．（12分）在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m→=(sinA，-a)，n→=(b，cosB)，m→⋅n→=a．（1）求角B；（2）若b＝3，且sin（C+A）+sin（C﹣A）＝2sin2A，求△ABC的面积．【解答】解：（1）因为向量m→=(sinA，-a)，n→=(b，cosB)，m→⋅n→=a．所以bsinA﹣acosB＝a，由正弦定理可得：sinAsinB﹣sinAcosB＝sinA，所以sinB﹣cosB＝1，即2sinBcosB＝0，又B∈（0，π），所以B=π2；（2）因为sin（C+A）+sin（C﹣A）＝2sin2A，所以2sinCcosA＝4sinAcosA，又cosA≠0，所以sinC＝2sinA，即c＝2a，又B=π2，b＝3，所以a=35，c=65， 所以S△ABC=12ab=95，故△ABC的面积为95．19．（12分）已知数列{an}为等比数列，公比q＞0，Sn为其前n项和，且a1＝4，S3＝28．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足：bn=n⋅an(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn．【解答】解：（1）数列{an}为等比数列，公比q＞0，且a1＝4，S3＝28．可得4+4q+4q2＝28，解得q＝2（﹣3舍去），可得an＝4•2n﹣1＝2n+1；（2）bn＝n•2n+1，前n项和Tn＝1•4+2•8+3•16+…+n•2n+1，2Tn＝1•8+2•16+3•32+…+n•2n+2，相减可得﹣Tn＝4+8+16+…+2n+1﹣n•2n+2=4(1-2n)1-2-n•2n+2，化为Tn＝4+（n﹣1）•2n+2．20．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若a=2，b=1，A=π4，求角B；（2）若sin(A+B+π6)=12，a+b=4，求△ABC周长的取值范围．【解答】解：（1）若a=2，b=1，A=π4，可得sinB=bsinAa=1×222=12，由a＞b，即A＞B，则B为锐角，可得B=π6；（2）由sin（A+B+π6）=12，即sin（π﹣C+π6）=12，可得sin（C-π6）=12，由0＜C＜π即有-π6＜C-π6＜5π6，可得C-π6=π6，即C=π3，设A=π3+α，B=π3-α，-π3＜α＜π3， 由asinA=bsinB=csinC可得a+bsinA+sinB=csinC，即为4sinA+sinB=c32，可得c=23sinA+sinB=23sin(π3+α)+sin(π3-α)=232sinπ3cosα=2cosα，由-π3＜α＜π3，可得12＜cosα≤1，即有2≤c＜4，则6≤a+b+c＜8，则△ABC周长的取值范围为[6，8）．21．（12分）已知数列{an}各项均为正数，前n项和为Sn，且Sn满足：∀n∈N*，4Sn=an2+2an．（1）求a1的值及数列{an}的通项公式；（2）若bn=1n(n+1)2(n∈N*)，且cn＝an×bn．证明：对一切正整数n，有c1+c2+⋯+cn-1+cn＜32．【解答】解：（1）Sn满足：∀n∈N*，4Sn=an2+2an．可得n＝1时，4a1＝4S1＝a12+2a1，解得a1＝2，n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1=an24+12an-an-124-12an﹣1，化为（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）＝0，由an＞0，可得an﹣an﹣1＝2，可得an＝2+2（n﹣1）＝2n，n≥2：上式对n＝1也成立，则an＝2n，n∈N*：（2）证明：bn=1n(n+1)2(n∈N*)，cn＝anbn＝2n•1n(n+1)2=2(n+1)2=2n2+2n+1＜2n(n+2)=1n-1n+2，则c1+c2+…+cn＜1-13+12-14+13-15+⋯+1n-1-1n+1+1n-1n+2＝1+12-1n+1-1n+2=32-1n+1-1n+2＜32．22．（12分）已知圆O：x2+y2＝4，直线l过点M（3，3），且l⊥OM．（1）若点N（x0，y0）上直线l的动点，在圆O上是否存在一点E，使得∠ONE＝30 °，若现在，求y0的取值范围；若不存在，请说明理由．（2）过点F（1，0）作两条互相垂直的直线，分别交圆O于A，C和B，D，设线段AC，DB的中点分别为P、Q，求证：直线PQ恒过一个定点．【解答】解：（1）由题得kOM＝1，所以kl＝﹣1，则直线l的方程为x+y﹣6＝0，所以x＝6﹣y，如图可知，对每个给定的点N，当NE为圆O的切线时，∠ONE最大，此时OE⊥EN，若∠ONE＝30°，则ON＝2OE＝4，即x02+y02=4，又因为x0＝6﹣y0，代入整理得y02-6y0+20=0，则△＝36﹣40＝﹣4＜0即该方程无解，故不存在这样的点E．（2）当直线AC，BD斜率存在时，设直线AC的方程为y＝k（x﹣1）（k≠0），联立y=k(x-1)x2+y2=4，整理得（1+k2）x2﹣2k2x+k2﹣4＝0，则x1+x2=2k21+k2，x1x2=k2-41+k2，△＝4k4﹣4（1+k2）（k2﹣4）＝16+12k2＞0，y1+y22=k(x1-1)+k(x2-1)2=k(x1+x2)2-k=-k1+k2，所以P（k21+k2，-k1+k2），同理得Q（(-1k)21+(-1k)2，-(-1k)1+(-1k)2），即Q（11+k2，k1+k2），kPQ=-k1+k2-k1+k2k21+k2-1k2+1=-2kk2-1，所以直线PQ方程为y--k1+k2=-2kk2-1(x-k21+k2)，y=2kk2-1(x+12)，恒过定点（-12，0），当AC斜率为0，直线BD斜率不存在时，直线AC方程y＝0，此时A（﹣2，0），C（2，0），P（0，0）直线BD方程x＝1，此时B（1，-3），D（1，3），Q（1，0），直线PQ为y＝0，经过点（-12，0）． 综上所述，恒过定点（-12，0）．