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1、第十章重积分第一节二重积分的概念和性质第二节二重积分的计算法第三节三重积分第四节重积分的应用多元函数积分学重积分曲线积分曲面积分第一节二重积分的概念和性质三、二重积分的性质一、问题的提出二、二重积分的定义1分割2近似(以直代曲)3求和yxoy=f(x)ab..分法越细，越接近精确值1.曲边梯形的面积f(i).4取极限yxoy=f(x)令分法无限变细.ab...分法越细，越接近精确值1分割2近似(以直代曲)3求和1.曲边梯形的面积.f(i)4取极限yxoy=f(x)令分法无限变细....分法越细，越接近精确值1分
2、割2近似(以直代曲)3求和1.曲边梯形的面积.f(i)S=.S.ab问题：如何计算曲顶柱体的体积？一、问题的提出1.曲顶柱体的体积给定曲顶柱体:底：xoy面上的闭区域D顶:连续曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.柱体体积=底面积×高特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶.问题：如何计算曲顶柱体的体积？“分割,近似,求和,取极限”解决问题的思路:类似定积分解决问题的思想:×x0zyDSS:z=f(x,y)１分割：任意分割区域D,化整为零2近似：以平代曲１.曲顶柱体的体积ix0zyDS:z=f(
3、x,y)3求和：2近似：以平代曲１分割：任意分割区域D,化整为零.i１.曲顶柱体的体积x0zyDS:z=f(x,y)3求和4取极限令分法无限变细i2近似：以平代曲１分割：任意分割区域D,化整为零.V=１.曲顶柱体的体积x0zyV..１.曲顶柱体的体积S:z=f(x,y)3求和4取极限令分法无限变细2近似：以平代曲１分割：任意分割区域D,化整为零V=２．求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似看作均匀薄片，所有小块质量之和近似等于薄片总质量两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量
4、的结构式相同“分割,近似,求和,取极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:二、二重积分的定义１.定义:将区域D任意分成n个小区域任取一点若存在一个常数I,使可积,在D上的二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域D上的有界函数,0xyD直角坐标系下面积元素图示引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:如果在D上可积,也常二重积分记作这时分区域D,因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划记作2.注解:(1)二重积分的存在性：若函数在D上可积.在有界闭区域上连续,则(２)二重积分几何意义：当被积函
5、数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．三、二重积分的性质性质１当为常数时，性质２定积分的性质性质１.性质２性质３对区域具有可加性性质３.若为D的面积，性质4性质4性质５若在D上特殊地则有如果在上性质５特殊地性质６性质７（二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）证:由性质6可知,由连续函数介值定理,至少有一点使因此性质７解解解四、曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的同样,曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算例4.求两个底圆半径为R的直
6、角圆柱面所围的体积.解:设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为二重积分的定义二重积分的性质二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（和式的极限）四、小结作业：p-136习题10-12,4(2)(3),5(3)(4)
