2021届高考数学一题多解专题05立体几何-（文理通用解析版）.docx

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1、2021届高考数学二轮复习微专题（文理通用）一题多解之立体几何篇【走进高考】【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为A．B．C．D．【答案】D【解析】解法一：为边长为2的等边三角形，为正三棱锥，，又，分别为，的中点，，，又，平面，∴平面，，为正方体的一部分，，即．解法二：设，分别为的中点，，且，为边长为2的等边三角形，，又，，中，由余弦定理可得，作于，，为的中点，，，，，又，两

2、两垂直，，，，故选D.【名师点睛】本题主要考查学生的空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．【例】(2018全国卷Ⅱ)在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为A．B．C．D．【答案】C【解析】解法一：如图，补上一相同的长方体，连接，．易知，则为异面直线与所成角．因为在长方体中，，，所以，，，在中，由余弦定理，得，即异面直线与所成角的余弦值为，故选C．解法二：以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示．由条件可知

3、，，，，所以，，则由向量夹角公式，得，即异面直线与所成角的余弦值为，故选C．【例】【2017年高考数学全国I理第18题】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且.（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A-PB-C的余弦值.【答案】见解析【知识点】线面垂直的判定；面面垂直的判定；求二面角。【试题分析】本题第一问主要考察了面面垂直的判定，其中还需要用到线面垂直的判定第。第二问是考察二面角的求法，属于中档题。【解析】（1）由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD.由于AB∥CD，故AB⊥P

4、D，从而AB⊥平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.（2）解法一：（综合法）不妨设PA=PD=AB=DC=1，则易得，取中点，连接，则，所以即为所求二面角的平面角。在三角形中，，，，，所以二面角的余弦值为.由（1）及已知可得，，，.所以，，，.设是平面的法向量，则，即，可取.设是平面的法向量，则，即，可取.则，所以二面角的余弦值为.方法三：（等体积转化法）不妨设PA=PD=AB=DC=1，则易得，取中点，连接，则。设在平面内投影为，连，则的补角即为所求二面角的平面角。由得，，，所以二面角的余弦值为.【

5、例】【2016浙江文科第14题】如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°．沿直线AC将△ACD翻折成△ACD'，直线AC与BD'所成角的余弦的最大值是.【分析】本题属于立体几何中的折叠问题，在折叠过程中动态测算异面直线所成的角，难度较大，要求学生有较高的空间想象能力。先应分析底面的平面四边形ABCD，将AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°标在图上，可以计算，上的两高线长，，进而可以计算，，还可以发现是的三等分点，，。视角一：考虑空间向量解法一：空间向量的坐标运算解析：

6、设直线与所成角为，设是中点，如图，以为轴，为轴，过与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，翻折过程中始终与垂直，，故设，则，与平行的单位向量为，所以，所以当时，取最大值解法二：空间向量的几何运算则，设点在平面上的投影为，，因此视角二：考虑纯几何运算解法三：寻找异面直线所成的角解析：由折叠过程可知，在以为圆心，为半径的圆上运动，且垂直圆所在的平面，如图。作于，则，与所成角即为，且，，要使的最大只需的最小，在中，为定值，即只要最短。，，因此解法四：利用三面角定理解析：是点在平面上的投影，可知：观察得当与点重合时，和

7、同时达到最小，和同时取最大，此时有最大值。其实在翻折过程中，，那么，即当与重合时有最大值。【典例分析】空间线线角问题中的一题多解：【例】【2017年高考数学全国II理第10题】已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】C【考点】线面角解法二：向量法：取空间向量的一组基底为，则，，易知，，，所以异面直线与所成角的余弦值为.解法三：建系法：如图所示，以垂直于的方向为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，所以异面直线与所成角的余弦值，故本题答案为C.空间线面角、线面垂直问题中的一题多解：【

8、例】【2018年浙江卷】如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）3913【解析】方法一：（Ⅰ）由A