2021届高考数学一题多解专题04 导数-（文理通用解析版）.docx

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1、2021届高考数学二轮复习微专题（文理通用）一题多解之导数篇【知识储备】【走进高考】【2019年高考江苏】设函数、为f（x）的导函数．（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值；（3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M≤．【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.【解析】（1）因为，所以．因为，所以，解得．（2）因为，所以，从而．令，得或．因为都在集合中，且，所以．此时，．令，得或．列表如下：1+0–0+极大值极小值所以的极小值为．（3）因为，所以，．因为，所以

2、，则有2个不同的零点，设为．由，得．列表如下：+0–0+极大值极小值所以的极大值．解法一：．因此．解法二：因为，所以．当时，．令，则．令，得．列表如下：+0–极大值所以当时，取得极大值，且是最大值，故．所以当时，，因此．【名师点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．【例】【2017年高考数学全国三卷理11】11．已知函数有唯一零点，则a=A．B．C．D．1【答案】C函数的零点满足，设，则，当时，；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，当时，函数取得最小值，为.设，当时，函数取

3、得最小值，为，若，函数与函数没有交点；若，当时，函数和有一个交点，即，解得.故选C.解法三：对称性可得，即为方程的对称轴.有唯一零点，的零点为，即，解得.故选C.【考点】函数的零点；导函数研究函数的单调性，分类讨论的数学思想【思路分析】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.【例】【2016高考课标I卷理21题】已知函数有两个零点．（I）求的取值范围；（II

4、）设，是的两个零点，证明．【答案】（1）（2）见解析【知识点】函数单调性，导函数，参数讨论【解析】（I）法一：分类讨论由已知得：（1）若，那么，只有一个零点，不合题意；（2）若，那么，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减即：↓极小值↑故在上至多一个零点，在上至多一个零点由于，，则，根据零点存在性定理，在上有且仅有一个零点．而当时，，，故则的两根，，，因为，故当或时，，因此，当且时，又，根据零点存在性定理，在有且只有一个零点．此时，在上有且只有两个零点，满足题意．（3）若，由得或．当，则，故当时，，因此在单调递增，又当时，，所以不存在两个

5、零点；当，则，故当时，，在单调递减；当时，，在单调递增．又当时，，所以不存在两个零点；综上，的取值范围为．法二：分离参数显然不是函数的零点．当时，方程等价于．设，则，因此在上单调递增，在上单调递减．由于在上的取值范围是，在上的取值范围是，因此当时，函数有两个零点．（II）法一：构造部分对称函数不妨设，由（I）知，，所以，在单调递减，所以等价于，即需证．由于，而，所以．设，则，所以当时，，而，故当时．从而，故．法二：分离参数再构造函数由已知得：，不难发现，，故可整理得：设，则那么，当时，，单调递减；当时，，单调递增．设，构造设，，则，故单调

6、递增，有．因此，对于任意的，．由可知、不可能在的同一个单调区间上，不妨设，则必有，令，则有而，，在上单调递增，因此，整理得．法三：构造函数证明：因为，所以，所以，构造函数，所以，所以在上单调递增，在上单调递增，而，所以当时，；当时，，设的两个零点为，，所以，则，得证．【例】【2016全国III卷理科第题】已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是.【答案】【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程．考查了方程思想；函数的性质及应用；导数的概念及应用．【解析】解法一：直接法令，则，，又因为是偶函数，即当时，，，，，切线方程为，即所求切线方

7、程为.解法二：间接法为偶函数，点的对称点必在图像上，当时，，为偶函数，当时，切线方程为，即所求切线方程为。解法三：对称法为偶函数，点的对称点必在图像上，当时，，在点处的切线方程为在关于图轴的对称直线为，即为所求切线方程为【例】【2016年全国卷II理科数学第16题】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，.【答案】【知识点】（1）导数的几何意义；（2）切线的方程。【解析】解法一：常规解法。的切线为：（设切点横坐标为），的切线为：（设切点横坐标为），∴，解得，∴．解法二：参数法。由得，设与的切点为，则，即由得，设与的切点为，则，即故，切线过，得

8、：由①-②得：，所以解法三：平移法。和都是平移而来。一个向上平移2个单位，一个向右平移1个单位，故切线斜率。由得，由，故，故将切点代入直线得：，画出函数图像如下：【典例分析】不等式恒成立问题中