2021届高考数学一题多解专题01 数列-（文理通用解析版）.docx

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1、2021届高考数学二轮复习微专题（文理通用）一题多解之数列篇【知识储备】1、等差数列的通项公式、前n项和公式如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an=a1＋(n－1)d，其前n项和Sn=na1＋d或Sn=。2．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an=am＋(n－m)d(n，m∈N*)。(2)若{an}为等差数列，且k＋l=m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al=am＋an。(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差

2、数列。(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列。(5)S2n－1=(2n－1)an。3．等差数列与函数的关系(1)通项公式：当公差d≠0时，等差数列的通项公式an=a1＋(n－1)d=dn＋a1－d是关于n的一次函数，且一次项系数为公差d。若公差d>0，则为递增数列，若公差d<0，则为递减数列。(2)前n项和：当公差d≠0时，Sn=na1＋d=n2＋n是关于n的二次函数且常数项为0。【走进高考】1．【2019年高考全国I卷理数】记为等差数列的前n项和．已知，则（）A．B．C．D．【答案】A【解

3、析】法一：由题知，，解得，∴，．法二：由题知，得，又，，，又，∴，．解得，∴，．【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，再适当计算即可做了判断．2.【2016年江苏理科数学第8题】已知{}是等差数列，是其前n项和.若，，则的值是.【答案】20【解析】解法一：通项公式法由，得，所以有，由，得(2-2d)+(2-d)2=-3，解得d=3，a1=-4，由等差数列的通项公式得，=-4+8×3=20解

4、法二：递推公式法由，得，所以有，由，得(2-2d)+(2-d)2=-3，解得d=3，由等差数列的递推公式得，=2+6×3=20解法三：列方程组依题意有：解得：d=3，=-4由等差数列的递推公式得，=2+6×3=203．【2018全国卷Ⅰ】记为数列的前项和，若，则_____．【答案】【解析】法一：因为，所以当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得．所以．法二：因为，所以当时，，解得，当时，，所以，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以，所以．4、【2017新课标Ⅰ】记

5、为等差数列的前项和．若，，则的公差为A．1B．2C．4D．8【答案】C【解析】解法一：由，得，由得，设公差为，即，所以．选C．解法二：设公差为，则有解得，故选C．5．【2012江西】（）设数列都是等差数列，若，，则___________．【答案】35【解析】（解法一）因为数列都是等差数列，所以数列也是等差数列．故由等差中项的性质，得，即，解得．（解法二）设数列的公差分别为，因为所以.所以.【典例分析】等差数列基本运算中的一题多解：【例】【2015·全国卷Ⅱ】设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5=

6、3，则S5=(　　)A．5　　　B．7　　　C．9　　　D．11【答案】A【解析】解法一：∵a1＋a5=2a3，∴a1＋a3＋a5=3a3=3，∴a3=1，∴S5==5a3=5。故选A。解法二：∵a1＋a3＋a5=a1＋(a1＋2d)＋(a1＋4d)=3a1＋6d=3，∴a1＋2d=1，∴S5=5a1＋d=5(a1＋2d)=5。故选A。【例】已知数列{an}，{bn}都是等差数列，Sn，Tn分别是它们的前n项和，并且=，则=(　　)A.B．5C.D.【答案】D【解析】法一：令Sn=(7n＋1)n，Tn=(n＋3)

7、n，则an=14n－6，bn=2n＋2，所以==.法二：设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则======.答案：D【小结】1．项的性质：在等差数列{an}中，am－an=(m－n)d⇔=d(m≠n)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差。2．和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则①S2n=n(a1＋a2n)=…=n(an＋an＋1)；②S2n－1=(2n－1)an。等差数列前n项和最值中的一题多解：【典例】在等差数列{an}中，已知a1=20，前

8、n项和为Sn，且S10=S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值。【解析】法一：因为a1=20，S10=S15，所以10×20＋d=15×20＋d，所以d=－。由an=20＋(n－1)×=－n＋，得a13=0。即当n≤12时，an>0，当n≥14时，an<0。所以当n=12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S12=S13==130。法二：Sn=20n＋·