第二章 插值法--课堂ppt课件.ppt

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1、第2章插值法当精确函数y=f(x)非常复杂或未知时，在一系列节点x0…xn处测得函数值yi=f(xi)，由此构造一个简单易算的近似函数P(x)f(x)，满足条件P(xi)=f(xi)(i=0,…n)。x0x1x2x3x4xP(x)f(x)1.问题背景§1引言2.一般概念研究问题若满足条件的存在，又如何构造？满足插值条件的多项式是否存在，唯一？用近似代替的误差估计？定理1满足条件(1.1)的n阶插值多项式(1.2)是唯一存在的。3.多项式插值证明：由(1.1)可得(1.3)(1.3)为一个n＋1未知量的线性方程组，要证明插值多项

2、式存在唯一，只要证明参数存在且唯一，即只要证明其系数行列式不为零即可。其系数行列式为此为范德蒙行列式。利用行列式性质可得系数行列式为由于时，故所有因子，于是即插值多项式存在唯一。直接求解方程组可得到P(x)，但过程繁琐插值方法拉格朗日插值牛顿插值埃尔米特插值分段低次插值三次样条插值§2拉格朗日插值1.线性插值和抛物插值对给定插值点,求出形如的插值多项式的方法有多种.n=1已知区间及端点函数值求线性插值多项式可见L1(x)是过和两点的直线。n=2假设给定插值点求二次插值多项式为由(2.4)的第一式，知的两个零点，则将条件带入到上式中

3、可得2.拉格朗日插值多项式3.插值余项与误差估计注：通常不能确定而是估计将作为误差估计上限.由余项表达式(2.14)知,当时，由此可得若表示次数小于等于的多项式集合则即练习给定数据表xi0123yi01514求三次拉格朗日插值多项式L3(x).例1已知sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274,用线性插值计算sin0.3367的值,并估计误差.例1’已知sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274,用抛物插值计算s

4、in0.3367的值,并估计误差.拉格朗日插值公式优缺点优点：结果清晰、紧凑，适用于作理论分析、应用；当节点个数有所变动，插值基函数都要重新算一遍，整个插值公式发生变化，在实际应用时不方便。§3均差与牛顿插值一、均差及其性质定义1一阶均差二阶均差均差的基本性质:均差表:kxkf(xk)一阶均差二阶均差三阶均差…01234┆x0x1x2x3x4┆f(x0)f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)┆f[x0,x1]f[x1,x2]f[x0,x1,x2]f[x2,x3]f[x1,x2,x3]f[x0,x1,x2,x3]f[x3,x4]f

5、[x2,x3,x4]f[x1,x2,x3,x4]…┆┆┆把后一式依次带入前一式增加一项即可kxkf(xk)一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商0123412345147863301-1-1/3-2-3/2-1/61/24差分与等距节点插值上节讨论任意分布节点的插值公式，应用时常碰到等距节点的情形，此时插值公式可简化，为此先介绍差分．一、差分及其性质在处的m阶(向前)差分差分的基本性质:N阶差商与导数的关系差分表:∆2f0∆2f1…┆∆2f2┆┆∆f0∆f1∆f2∆f3┆f0f1f2f3f4┆01234┆∆2∆3…∆fkk二、等距节点插

6、值公式解：§4埃尔米特插值注：N个条件可以确定阶多项式。N1要求在1个节点x0处直到m0阶导数都相等的插值多项式即为Taylor多项式其余项为一般只考虑f与f’的值。两个典型的埃尔米特多项式解：由条件，可确定次数不超过3的插值多项式设为得余项的表达式，设待定由及罗尔定理2.两点三次埃尔米特插值其余项§5分段低次插值一、高次插值的病态性质龙格(Runge)现象….二、分段线性插值所谓分段线性插值就是用通过插值点的折线段逼近f(x).二、分段三次埃尔米特插值分段线性插值函数导数间断，若已知节点上函数值和导数，可构造一个导数连续

7、的插值函数Ih(x)，满足§6三次样条插值一、样条插值的概念3n-3个条件二、三次样条插值函数的建立线性插值基函数法三、误差界与收敛性作业：P482，14，17，20（2）