第二章插值法ppt课件.ppt

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1、插值法插值法是一种古老的数学方法，早在一千多年前的隋唐时期定制历法时就广泛应用了二次插值。刘焯将等距节点的二次插值应用于天文计算。插值理论却是在17世纪微积分产生后才逐步发展起来的，Newton插值公式理论是当时的重要成果。由于计算机的使用以及航空、造船、精密仪器的加工，插值法在理论和实践上都得到进一步发展，获得了广泛的应用。§2.1引言§2.2拉格朗日插值§2.3均差与牛顿插值公式§2.4差分与等距节点插值§2.5埃尔米特插值§2.6分段低次插值§2.7三次样条插值插值法能否存在一个性能优良、便于计算的函数一、插值问题------(1)这就是插值问题,(1)式为插值条件,其插值

2、函数的图象如图整体误差的大小反映了插值函数的好坏为了使插值函数更方便在计算机上运算,一般插值函数都使用代数多项式和有理函数。x0x1x2x3x4xP(x)f(x)二、代数插值多项式的存在唯一性且满足--------(2)--------(3)--------(4)上述方程组的系数行列式为n+1阶范德蒙行列式由Cramer法则,线性方程组(4)有唯一解定理1.p27则满足插值条件的插值多项式存在且唯一.反证：若不唯一，则除了Pn(x)外还有另一n阶多项式Ln(x)满足Ln(xi)=yi。考察则Qn的阶数n而Qn有个不同的根n+1x0…xn注：若不将多项式次数限制为n，则插值多项

3、式不唯一。例如也是一个插值多项式，其中可以是任意多项式。为了求得便于使用的简单的插值多项式P(x),我们先讨论n=1的情形要求线性插值多项式L1(x),使它满足：L1(x)的几何意义就是通过这两点的直线；由两点式可以看出，L1(x)是由两个线性函数也是线性插值多项式称为线性插值基函数n=2的情况，假定插值节点为为了求出L2(x)的表达式，可采用基函数方法同理线性无关，作为二次插值基函数得到二次插值多项式考虑通过n+1个节点……n+1次多项式且(请同学们思考)从而n1希望找到li(x)，i=0,…,n使得li(xj)=ij；然后令==niiinyxlxP0)()(，则显然有P

4、n(xi)=yi。li(x)每个li有n个根x0…xi…xn=-=---=njjijiniiixxCxxxxxxCxl00)())...()...(()(-==jijiiiixxCxl)(11)(LagrangePolynomial与有关，而与无关节点f例1:解:且在例1中,如果只给出两个节点169和225,也可以作插值多项式,即1次Lagrange插值多项式,有两个插值基函数,这种插值方法称为Lagrange线性插值,也可以在n+1个节点中取相邻的两个节点作线性插值例2.解:Lagrange插值基函数为Lagrange线性插值多项式为所以Lagrange插值多项式的缺

5、点：插值基函数计算复杂高次插值的精度不一定高高次插值通常优于低次插值但绝对不是次数越高就越好，嘿嘿……三、插值余项Remainder满足不会完全成立因此,插值多项式存在着截断误差,那么我们怎样估计这个截断误差呢？令设其中近似函数误差根据Rolle定理,再由Rolle定理,依此类推由于因此所以定理2.Lagrange型余项余项表达式只有在f(x)的高阶导数存在时才能应用。设则例3:解:练习1：练习2：练习3：