资源描述：
《第二章插值法12节ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、问题的提出拉格朗日插值牛顿插值分段低次插值埃尔米特插值第二章插值法在生产实际及科学试验中，经常要研究变量之间的函数关系，但很多情况下很难找到具体的函数表达式，往往只能通过观测或测量得到一张数据表：xx0x1x2……xny=f(x)y0y1y2……yn表中给出某个区间[a,b]上给出一系列点的函数值yi=f(xi)。§1问题的提出问题：无法求出不在表中的点的函数值，也不能进一步研究函数的其他性质，如函数的积分和导数等。为了解决这些问题，需要设法通过这张表格求出一个简单函数p(x)来近似f(x)，使得p(xi)=f(xi)(i=0,…n)。y=f(x)y=p(x)——插值问题已知精确函数y=
2、f(x)在一系列节点x0…xn处测得函数值y0=f(x0),…yn=f(xn)，由此构造一个简单易算的近似函数p(x)f(x)，满足条件p(xi)=f(xi)(i=0,…n)。这里的p(x)称为f(x)的插值函数。最常用的插值函数是…?多项式x0x1x2x3x4xp(x)f(x)定义：设函数y=f(x)在区间[a,b]上有定义，且给出一系列点上的函数值yi=f(xi)(i=0,1,2,…,n)，若用函数p(x)去近似代替它，使得p(xi)=yi(i=0,1,2,…,n)则称函数p(x)为f(x)的插值函数；称x0,x1,…xn称为插值节点或简称节点。插值节点所界的区间[a,b]称为插
3、值区间。p(xi)=yi称为插值条件。本章只讨论多项式的插值问题，即构造n次多项式Pn(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn使满足Pn(xi)=yi(i=0,1,2,…,n)，及利用Pn(x)进行插值计算的问题。Pn(x)称为插值多项式。定理(插值多项式的存在唯一性)满足的n次插值多项式是存在且唯一的。证明：反证：若不唯一，则除了Pn(x)外还有另一n阶多项式Ln(x)满足Ln(xi)=yi。考察则Qn的阶数n而Qn有个不同的根n+1x0…xn这与代数基本定理n次多项式只有n个根矛盾，故.证毕.定理(插值多项式的存在唯一性)满足的n阶插值多项式是存在且唯一的。插值多项式就是根据给
4、定n+1个点 ，求一个n次多项式：niyxPii,...,0,)(==使这里是n+1个待定系数，根据n+1个条件得到的方程组是关于参数的线性方程组。所以解是存在唯一的。但直接求解较复杂，也得不到统一的表达式。所以通常求插值多项式不用这种方法，而使用下节给出的构造基函数方法。系数矩阵为范德蒙行列式，当节点互异时§2拉格朗日插值/*LagrangeInterpolation*/niyxPiin,...,0,)(==求n次多项式使得条件：无重合节点，即已知x0,x1;y0,y1，求使得111001)(,)(yxPyxP==可见P1(x)是过(x0,y0)和(
5、x1,y1)两点的直线。)()(0010101xxxxyyyxP---+=101xxxx--010xxxx--=y0+y1l0(x)l1(x)==10)(iiiyxl称为线性插值基函数满足条件li(xj)=1(i=j)或0(ij）线性插值n=1直线方程的两点式：l0(x)l1(x)==10)(iiiyxlL1(x)L1(x)f(x)L1(x)L1(x)当n=2，给定三点,采用基函数方法 为二次式，且满足称为二次插值基函数A为待定系数由得于是抛物插值满足条件 的二次插值多项式 可表示为的图形是通过三点的抛物线，顾名抛物线插值.l
6、0(x)l1(x)l2(x)L2L2(x)L2(x)f(x)n1li(x)每个li有n个根x0…xi…xn=-=---=njjijiniiixxCxxxxxxCxl00)())...()...(()(-==jijiiiixxCxl)(11)(N次拉格朗日插值多项式与有关，而与无关节点f希望找到li(x)，i=0,…,n使得li(xj)=；然后令==niiinyxlxP0)()(，则显然有Pn(xi)=yi。n次多项式引入记号容易求得从而可改为表达式插值余项/*Remainder*/设节点在[a,b]内存在,考察截断误差，且f满足条件,Rolle’sTheorem:若充分光滑
7、，，则存在使得。推广：若使得使得存在使得Rn(x)至少有个根n+1=-=niinxxxKxR0)()()(任意固定xxi(i=0,…,n),考察=-=niixtxKtRnt0)()()()(j(t)有n+2个不同的根x0…xnx!)1()()()1(+-+nxKRxnnx注意这里是对t求导=+--++!)1)(()()()1()1(nxKLfxnnxnxx!)1()()()1(+=+nfxKxnx注意定理中ξ∈依赖于x及点
