§2-3 离散系统的时域分析.ppt

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1、§2-3离散系统的时域分析Q：已知RL网络，试从微分方程导出差分方程。根据KVL方程，对图示系统列出方程：§2-3-1离散系统差分方程的建立R+–L+–+–对连续变量t，若在各点取样，其中为取样间隔.则得到激励信号的离散取样序列和输出信号的离散取样序列。在足够小的情况下，微分运算可近似表示为差分运算代入原连续方程得一阶常系数差分方程差分方程的阶数＝未知序列变量序号的最大值与最小值之差后向形式(或向右移序的)差分方程：方程中未知序列的序号是自n以递减方式给出。前向形式(或向左移序的)差分方程：n以递增方式给出，即由、、…如此为一阶前向差分方程式。

2、两种描述方法无本质区别，仅仅是延时不同。通常对因果系统用后向形式的差分方程比较方便，在一般数字滤波器的描述中多用这种形式。而在状态变量分析中，前向形式的差分方程较为常用。§2-3-2离散系统差分方程的求解一迭代法二经典解法：齐次解＋特解零输入响应＋零状态响应四卷积和五Z变换N阶常系数线性差分方程的一般形式为：一、差分方程的迭代法当差分方程阶次较低时常用此法二、差分方程的经典解：齐次解＋特解1齐次解的形式齐次解方程：考虑一阶差分方程的齐次方程为序列是一个公比为的等比数列，因此有如下形式式中C为常数，由初始条件决定高阶差分方程，其齐次解以形式为的项

3、线性组合而成。消去常数C，并逐项除以上式为差分方程的特征方程，它的N个根称为差分方程的特征根。特征根有以下形式(1)特征根没有重根时，差分方程的齐次解为：(2)当有r重根时，齐次解形式为：§2-4系统的单位冲激响应与单位样值响应unitimpulseresponseandunitsampleLTI连续时间系统，在系统初始条件为0，激励为单位冲激函数（t）时所产生的响应。单位冲激响应h(t)：定义:h（t）LTI离散时间系统，在系统初始条件为0，激励为单位样值信号（n）时所产生的响应。单位样值响应h(n)：h（n）2.4.1系统的单位冲激响应

4、的确定冲激响应h（t）与方程的齐次解(零输入响应)有相同的函数形式。例：系统微分方程为：解：特征方程：对应项系数相等：求系数：对h(t)求导求其冲激响应。将h(t)，h’(t),h’’(t)及e(t)=(t)代入原方程，整理得：1i为互异实根：2有k重根：其中1为k重根，j为单根求系数Ci,cj通解2.4.2离散系统单位样值响应一、迭代法——适用于低阶系统单位样值（冲激）响应可以表征系统的因果性和稳定性因果性：输入变化不领先于输出变化充要条件稳定性：输入有界则输出必定有界充要条件u(t)引起的响应为单位阶跃响应g(t)例：已知某系统

5、的问：它是否是因果系统？是否是稳定系统？是因果系统有界稳定发散不稳定§2.5卷积积分与卷积和(Convolution)2.5.1借助于信号分解求系统零状态响应信号分解为冲激信号之和：求和变积分卷积的物理含义图解：AALTI系统的性质e(t)为激励系统的零状态响应卷积积分公式(Convolution)卷积公式表明：系统的零状态响应＝激励与系统冲激响应的卷积任意两个函数卷积积分其中，为积分变量，t为参变量2.4.2卷积的图解说明卷积的图解步骤：(1)变量置换：f1(t)-->f1(),f2(t)-->f2()(2)反褶：将f2()以纵轴为

6、对称轴反褶，得f2(－)(3)平移：将f2(－)沿轴自左向右平移t，得f2(t－)，t从-向+变化；(4)相乘：函数f1()与f2(t－)相乘，两波形重叠部分有值，不重叠部分乘积为0；(5)积分：计算积分，f1()与f2(t－)乘积曲线下的面积为t时刻卷积值。2.4.3卷积的性质一、卷积的代数性质二、卷积的积分和微分三、与冲激函数或阶跃函数的卷积一、卷积的代数性质卷积运算是一种代数运算，与乘法运算的某些性质相同1、交换律2、分配律h(t)=f2(t)+f3(t)f1(t)y1(t)=h2(t)=f2(t)y1(t)h3(t)

7、=f3(t)f1(t)系统并联3、结合律h2(t)=f2(t)f1(t)y1(t)=h3(t)=f3(t)f1(t)*f2(t)h(t)=f2(t)*f3(t)f1(t)y1(t)系统级联或串联二卷积的微分和积分（1）微分：两个函数相卷积后的导数等于其中一个函数的导数与另一个函数的卷积证：同理可证：左边＝（2）积分：两个函数相卷积后的积分等于其中一个函数的积分与另一个函数的积分类似地：对高阶导数和积分则：其中，I，j取正整数时，为导数阶次若I，j取负整数时，为重积分次数，如三、与冲激函数或阶跃函数的卷积（1）与冲激函数卷积某函数与冲激函数的卷积

8、是其本身函数与冲激函数时移相卷积的结果相当于把函数本身时移*＝*＝t0t0*＝t1t1+t2t21.2.3.推广：任意两函数卷积（2）与冲激偶‘（t