华南理工大学高等数学 98届 统考卷下.doc

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1、1998等数学下册统考试卷及解答一、试解下列各题1、[4分]设是由所确定的立体，试将化成球面坐标下的三次积分。解：在球坐标下为补充，从而2、[4分]设是在右半平面内的任意一条闭的光滑曲线，试证明解：当时由定理故有二、试解下列各题1、[3分]设，求解：2、[3分]设，求解：3、[3分]设可导，求解：三、试解下列各题1、[3分]设单调减少，且收敛于0，问级数是否收敛？解：不一定收敛。例如单调减少，且收敛于0，但发散；而单调减少，且收敛于0，但收敛。2、[3分]试证：级数是发散的。证：令，7c830105ba9e79643a1cddcdff6b1773.d

2、oc共5页第5页所以，从而级数是发散的。一、计算下列各题1、[6分]利用极坐标计算二重积分（）解：在极坐标下为2、[6分]设为连续函数，交换二次积分的积分次序。解：由上下限知积分区域D两部分为及，作图发现即为故原式3、[6分]计算，其中是立方体，，表面的外侧，。解：或由对称二、解答下列各题1、[5分]求全微分方程的通解。解：原式即7c830105ba9e79643a1cddcdff6b1773.doc共5页第5页为通解另解法：由此推出为通解2、[5分]已知，，试问是否存在函数，使得？解：因为所以不存在函数，使得一、解答下列各题1、[5分]判别级数的敛

3、散性。解：故正项级数的收敛2、[5分]设在内有连续的导函数，且。已知展成以为周期的傅立叶级数的系数为。试用表示的傅立叶级数的系数解：7c830105ba9e79643a1cddcdff6b1773.doc共5页第5页注意用的展开式求导来推不给分！因缺乏理论依据。一、解答下列各题1、[7分]利用二重积分计算由曲面所围成的曲顶矩体的体积解：2、[7分]利用曲线积分计算椭圆圆周所围成的面积。解：3、[7分]试求在极坐标下由所确定图形的面积。解：由知二、解答下列各题1、[6分]利用近似公式时，试估计当时所产生的最大误差。解：在内收敛7c830105ba9e7

4、9643a1cddcdff6b1773.doc共5页第5页当时，2、[6分]求微分方程的一条积分曲线，使其在点处有水平切线。解：特征方程为通解由过点知由在点处有水平切线知。从而为所要求的特解3、[6分]设，其中是具有连续导数的函数，试消去建立所满足的一个一阶偏微分方程。解：即为所满足的一个一阶偏微分方程。7c830105ba9e79643a1cddcdff6b1773.doc共5页第5页