2021届高考数学（文）二轮高频考点复习解密19 抛物线（解析版）.doc

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1、解密19抛物线1．（2019·全国高考真题（文））若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=A．2B．3C．4D．8【答案】D【详解】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．2．（2018·全国高考真题（文））设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点．（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）证明：．【答案】（1）或；（2）见解析.【详解】（1）当与轴垂直时，的方程为，可得的坐标为或．所以直线的方程为或；（2）设的方程为，、，由，得，可知，．直线、的斜率之和为，所以，可知、的倾

2、斜角互补，所以.综上，.3．（2018·全国高考真题（文））设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．（1）求的方程；（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．【答案】(1)y=x–1,(2)或．【详解】详解：（1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x–1）（k>0）．设A（x1，y1），B（x2，y2）．由得．，故．所以．由题设知，解得k=–1（舍去），k=1．因此l的方程为y=x–1．（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为，即．设所求圆的圆心坐标为（x0，y

3、0），则解得或因此所求圆的方程为或．1．（2021·内蒙古呼和浩特市·高三一模（文））已知边长为的等边三角形的一个顶点位于抛物线的焦点，另外两个顶点在抛物线上，若，则该抛物线的准线方程为（）A．B．C．D．【答案】A【详解】由题意不妨设等边三角形的顶点为抛物线的焦点，顶点分别在第一、第四象限，显然，由抛物线和等边三角形的对称性可知：边与横轴垂直，因为，所以点在线段的左侧，所以顶点的坐标为：，代入抛物线方程中，得，解得或（舍去），所以抛物线的准线方程为：.故选：A2．（2021·全国高三专题练习（文））已知

4、过抛物线的焦点F的直线交抛物线于两点，线段的延长线交抛物的准线于点C，若，则（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【详解】设在准线上的摄影分别为，过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，线段的延长线交抛物线的准线于点，若，由，可得，可得，所以.故选：C.3．（2021·山西晋中市·高三二模（文））已知点F是抛物线的焦点，O为坐标原点，A，B是抛物线E上的两点，满足则（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【详解】设，可得，由，知，所以，②联立①②，可得.故选：D．4．（2021·广东肇庆市·高三二模）已知点是抛

5、物线上的一个动点，则点到点的距离与到抛物线的准线的距离之和的最小值为___________.【答案】【详解】设点在抛物线的准线的投影为点，抛物线的焦点为，则.依抛物线的定义，知点到该抛物线的准线的距离为，则点到点的距离与到该抛物线的准线的距离之和.故答案为：.5．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三一模（理））人们已经证明，抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴，探照灯、手电筒就是利用这个原理设计的.已知抛物线的焦点为，从点出发的光线经抛物线上第一

6、象限内的一点反射后的光线所在直线方程为，若入射光线的斜率为，则抛物线方程为______.【答案】【详解】从点F出发的光线第一象限内抛物线上一点P反射后的光线所在直线方程为y＝，可得P（，），入射光线FP的斜率为，所以，解得p＝1或p＝﹣2（舍去），所以抛物线方程为：y2＝2x．故答案为：y2＝2x6．（2021·山东滨州市·高三一模）已知点，，动点满足．记点的轨迹为曲线．（1）求的方程；（2）设为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别是，．证明：直线过定点．【答案】（1）；（2）证明见解析.【详解】（1）

7、设，则，，，，所以，可以化为，化简得．所以，的方程为．（2）由题设可设，，，由题意知切线，的斜率都存在，由，得，则，所以，直线的方程为，即，①因为在上，所以，即，②将②代入①得，所以直线的方程为同理可得直线的方程为．因为在直线上，所以，又在直线上，所以，所以直线的方程为，故直线过定点．7．（2021·江西高三其他模拟（文））在平面直角坐标系中，已知点，点B在直线上，点M满足，．点M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）点P在曲线C上，且横坐标为2，问：是否在曲线C上存在D，E两点，使得是以P为直角顶

8、点的等腰直角三角形？若存在，说明的个数；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）存在，1个.【详解】解：（1）因为，所以，则，即M到A点的距离等于M到直线的距离，故M是以A为焦点，以直线为准线的抛物线，其方程为．（2）由已知得，设，直线的斜率为k，则直线的斜率为，则，联立抛物线方程，消y可得，则有，，同理可得，，由，可得，整理得，即，则有（1）或（2），将后，（1）即为（2）所以分析（1）即可．令，，当或时，，当时，，故极大