2021_2022学年新教材高中数学第2章直线和圆的方程2.12.1.1倾斜角与斜率学案新人教A版选择性必修第一册.doc

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1、优选2.1　直线的倾斜角与斜率2.1.1　倾斜角与斜率学习任务核心素养1.理解直线的斜率和倾斜角的概念．(重点)2.理解直线的方向向量和向量坐标表示．(重点)3.掌握过两点的直线斜率的计算公式，会应用斜率公式求直线的斜率．(难点)1.通过倾斜角概念的学习，提升数学抽象的数学素养.2.通过斜率和直线方向向量的学习，培养逻辑推理和数学运算的数学素养.我们知道，经过平面直角坐标系中的一点，可以有无数条不同的直线．如图所示，过同一点的直线l1，l2，l3，l4，它们彼此之间的不同点是什么？你能找到一个量来描述它们的不同点吗？你找到的量，能够使得图中任意两条不同的直线都有不同的取值吗？知识

2、点1　倾斜角的相关概念(1)倾斜角的定义当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠_APx为锐角，直线l′的倾斜角是∠BPx为钝角．(2)倾斜角的范围当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°，因此直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.-10-/10优选1.任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？[提示]　由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾斜角；不同的直线其倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾斜角是相同的．1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)与x

3、轴垂直的直线，其倾斜角为90°.(　　)(2)与x轴平行的直线，其倾斜角不存在．(　　)(3)不存在倾斜角相同的直线．(　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)×平面直角坐标系中的两点可以确定一条直线，那么这两点当然也可以确定直线的倾斜角．如图所示，分别写出以下直线的倾斜角，并总结出一般的结论：(1)经过A(－1，－1)，B(3，－1)的直线l1；(2)经过C(2,1)，D(2,2)的直线l2；(3)经过E(－1,0)，F(1,2)的直线l3.知识点2　直线的斜率(1)直线的斜率把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α.(2)斜率

4、与倾斜角的对应关系-10-/10优选图示倾斜角(范围)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率(范围)k＝0k>0不存在k<0(3)过两点的直线的斜率公式过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.2.当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°时，其斜率如何变化？[提示]　当倾斜角为锐角时，其斜率为正值，而且斜率随着倾斜角的增大而增大，当倾斜角为钝角时，其斜率为负值，斜率随着倾斜角的增大而增大，当倾斜角为90°时，直线的斜率不存在．所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率．当直线的倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，但并不

5、是该直线不存在，此时直线垂直于x轴(或平行于y轴或与y轴重合)．2.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应．(　　)(2)若直线的倾斜角为α，则必有斜率与之对应．(　　)(3)与y轴垂直的直线的斜率为0.(　　)(4)与x轴垂直的直线的斜率不存在．(　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√知识点3　直线的斜率与方向向量的关系(1)若直线l的斜率为k，则直线l的一个方向向量的坐标为(1，k)．(2)若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，则直线l的斜率k＝.3.若直线l的倾斜角为135°，则直线l的一个方向向量的坐标为

6、________．(1，－1)[直线l的斜率k＝tan135°＝－1，则直线l-10-/10优选的一个方向向量的坐标为(1，－1)．]类型1　直线的倾斜角【例1】　(1)若直线l向上的方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为(　　)A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°(2)(多选题)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为(　　)A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．α－45°(1)D　(2)AB　[(1)如图，直线l有两种情况，故l的倾斜角为60°或120°.(

7、2)根据题意，画出图形，如图所示．通过图象可知：当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.]求直线倾斜角的方法及注意点(1)方法：求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.-10-/10优选②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.[跟进训练]1．