2022版新教材高考数学一轮复习第2章函数的概念与性质第4节二次函数与幂函数学案含解析新人教B版.doc

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1、优选第4节　二次函数与幂函数一、教材概念·结论·性质重现1．幂函数的概念一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中α为常数．幂函数的特征(1)自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数．(2)xα的系数为1.(3)解析式只有一项．2．常见的五种幂函数的图像3．幂函数的性质(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图像，并且图像都通过点(1,1)．(2)如果α>0，则幂函数的图像通过原点，并且在(0，＋∞)上是增函数．(3)如果α<0，则幂函数在(0，＋∞)上是减函数，且在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图像在y轴右方且无限逼近y轴；当x无限增大

2、时，图像在x轴上方且无限逼近x轴．4．二次函数的图像与性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)11/11优选图像定义域R值域单调性在上单调递增；在上单调递减在上单调递增；在上单调递减奇偶性当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数顶点对称性图像关于直线x＝－成轴对称图形(1)二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的X围有关．(2)若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时，恒有f(x)>0；当时，恒有f(x)<0.二、基本技能·思想·活动体验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(

3、1)函数y＝2x是幂函数．(×)(2)如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点．(√)(3)当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．(×)(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数．(×)2．已知幂函数y＝f(x)的图像经过点，则f(2)＝(　　)11/11优选A．B．4C．D．C解析：设f(x)＝xα，因为图像过点，所以f(4)＝4α＝，解得α＝－，所以f(2)＝2－＝.3．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图像在x轴上方，则a的取值X围是(　　)A.B.C.D.C　解析：由题意知即解得a>.4．已知函数y＝2x2－6x＋3，x∈[－

4、1,1]，则y的最小值是________．－1解析：因为函数y＝2x2－6x＋3的图像的对称轴为x＝>1，所以函数y＝2x2－6x＋3在[－1，1]上单调递减．当x＝1时，y取得最小值，所以ymin＝2－6＋3＝－1.5．函数f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上单调递增，则实数m的值为__2__.考点1幂函数的图像与性质——基础性1．与函数y＝x－1的图像关于x轴对称的图像大致是(　　)11/11优选B解析：y＝x的图像位于第一象限且为增函数，所以函数图像是上升的，函数y＝x－1的图像可看作由y＝x的图像向下平移一个单位长度得到的(如选

5、项A中的图像所示)．将y＝x－1的图像关于x轴对称后即为选项B.2．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图像关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，则n的值为(　　)A．－3B．1C．2D．1或2B　解析：因为幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n在(0，＋∞)上单调递减，所以所以n＝1.又n＝1时，f(x)＝x－2的图像关于y轴对称，故n＝1.故选B.3．(2020·某某中学调研)已知点(m,8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图像上．设a＝f，b＝f(lnπ)，c＝f(2－)，则a，b，c的大小关系是(　　)A．a

6、bB．a1>2－＝>，所以f(lnπ)>f(2－)>f，则b>c>a.11/11优选幂函数的图像的应用注意点(1)对于幂函数图像，要抓住直线x＝1，y＝1，y＝x将第一象限分成的六个区域．根据α＜0,0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由幂函数的奇偶性决定．(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适

7、当的函数，借助其单调性进行比较．考点2二次函数的解析式——综合性已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，求二次函数f(x)的解析式．解：(方法一：利用二次函数的一般式)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得解得故f(x)＝－4x2＋4x＋7.(方法二：利用二次函数的顶点式)设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．因为f(2)＝f(－1)，所以抛物线的对称轴为x＝＝.所以m＝.又根据题意函数有最大值8，所以n＝8，所以y＝f(x)＝a2＋8.因为f(2)＝－1，所以a2＋8＝－1，解得a＝－4，11/11优选所

8、以f(x)＝－4×2＋8