2020-2021学年新题速递高二数学27 推理与证明（解答题）（12月）（理）（原卷版）.docx

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1、专题27推理与证明（解答题）1．设数列满足，．（1）计算，．猜想的通项公式并利用数学归纳法加以证明；（2）记，求数列的前n项和．2．设数列的前项和为，且满足．（1）求；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明．3．观察下列算式：，猜想第n+1个等式，并证明等式的正确性．4．已知三个正数成等差数列，且公差不为零．求证：不可能成等差数列．5．（1）已知，用比较法证明；（2）已知，用反证法证明：．6．若，且，求证：一元二次方程和中至少有一个方程有实根．7．（1）已知，证明：若，则a，b，c中至少有一个小于；（2）已知，判断“”是“a，b，c中至少有一个小于”的什么条件？并说明理

2、由．8．（1）已知是实数，集合，．求证：“”是“”的充要条件．（2）设．用反证法证明命题“若，则或．”9．（1）用分析法证明：当时，；（2）已知，，且，用综合法证明：．10．（1）用综合法证明：对于任意，，有；（2）用分析法证明：对于任意时，有．11．已知函数数列对于﹐总有，．（1）求，，的值，并猜想数列的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想．12．（1）在等差数列中，证明；（2）类似（1）中的结论，相应地在等比数列中，写出一个类似的真命题，并加以证明．13．某工厂有台机器，编号分别为1，2，3，…，n，该工厂有工人n名，编号分别为1，2，3，…，n，现定义的值为如果第i

3、名工人操作第j机器，则记，否则．若，则用文字解释上式的实际意义．14．如图，已知点是内任意一点，连接、、，并延长交对边于、、，则，这是平面几何中的一个命题，其证明常采用“面积法”．运用类比猜想点是空间四面体内的任意一点，连接、、、，并延长分别交面、、、于点、、、，试写出结论，并加以证明．15．在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）与，其中，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②线段，其中，则称与互为正交点列．（1）试判断与是否互为正交点列，并说明理由．（2）求证：不存在正交点列；（3）是否存在无正交点列的有序整数点列？并证

4、明你的结论．16．设集合，其中是正整数，记．对于，，若存在整数k，满足，则称整除，设是满足整除的数对的个数．（1）若，，写出，的值；（2）求的最大值；（3）设A中最小的元素为a，求使得取到最大值时的所有集合A．17．（1）用分析法证明：若，则．（2）用反证法证明：若，则函数无零点．18．已知是无穷数列，，且对于中任意两项，在中都存在一项，使得．（1）若，求；（2）若，求证：数列中有无穷多项为；（3）若，求数列的通项公式．19．设数列满足，，当．（1）计算，，猜想的通项公式，并加以证明．（2）求证：．20．汉诺塔问题是源于印度一个古老传说的益智游戏．这个游戏的目的是将图（1）中

5、按照直径从小到大依次摆放在①号塔座上的盘子，移动到③号塔座上，在移动的过程中要求：每次只可以移动一个盘子，并且保证任何一个盘子都不可以放在比自己小的盘子上．记将n个直径不同的盘子从①号塔座移动到③号塔座所需要的最少次数为an．（1）试写出a1，a2，a3，a4值，并猜想出an；（无需给出证明）（2）著名的毕达哥拉斯学派提出了形数的概念．他们利用小石子摆放出了图（2）的形状，此时小石子的数目分别为1，4，9，16，由于小石子围成的图形类似正方形，于是称bn＝n2这样的数为正方形数．当n≥2时，试比较an与bn的大小，并用数学归纳法加以证明．21．已知数列满足，，．（1）求，，；

6、（2）猜想的通项公式，并用数学归纳法加以证明．22．在数列中，，．（1）求、、的值；（2）猜想的通项公式，并用数学归纳法证明．23．已知函数，且，（1）求函数的表达式；（2）若数列的项满足，试求；（3）猜想数列的通项，并用数学归纳法证明．24．若，且．（1）求，，，，（2）归纳猜想通项公式，用数学归纳法证明．25．（1）若是不相等的两个正数，求证：（2）已知，求证：中至少有一个小于2．26．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数．（1）求函数图象的对称中心；（2）请利用函数

7、的对称性求的值．（3）类比上述推广结论，写出“函数的图象关于轴成轴对称的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论．27．设，，．（1）证明：；（2）探索猜想．______；______；（3）由（1）（2）归纳出一般性结论并证明．