2021_2022学年新教材高中数学第二章直线和圆的方程2.4.1圆的标准方程学案含解析新人教A版选择性必修第一册.doc

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1、考试2．4　圆的方程2.4.1　圆的标准方程必备知识·自主学习导思1.确定一个圆的几何要素有哪些？2．怎么确定点与圆的位置关系？1.圆的标准方程(1)圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆的圆心，定长称为圆的半径．(2)标准方程：圆心为A(a，b)，半径为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(3)确定圆的标准方程的几何要素：圆心、半径．　以原点为圆心，半径为r的圆的标准方程是什么？提示：x2＋y2＝r2.2．点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)

2、2＝r2的位置关系(1)在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2r2或d>r.-8-/8考试1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)圆的标准方程由圆心、半径确定．(　　)(2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．(　　)(3)原点在圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2上，则x＋y＝r2.(　　)提示：(1)√.如果圆的圆心位置、半径确定，圆的标准方程是确

3、定的．(2)×.当m＝0时，表示点(a，b).(3)√.原点在圆上，则(0－x0)2＋(0－y0)2＝r2，即x＋y＝r2.2．圆(x－1)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是(　　)A．(－1，3)，1B．(1，－3)，3C．(－1，3)，D．(1，－3)，【解析】选D.由圆的标准方程可得圆心为(1，－3)，半径为.3．(教材二次开发：例题改编)点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值X围是(　　)A．－11D．a>1【解析】选A

4、.因为点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，所以表示点(1，1)到圆心(a，－a)的距离小于2，<2，两边平方得(1－a)2＋(a＋1)2<4，化简得a2<1，解得－1

5、点的圆的标准方程．【解析】1.方法一：(待定系数法)设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则解得所以外接圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5.方法二：(几何法)易知△ABC是直角三角形，∠B＝90°，所以圆心是斜边AC的中点(2，2)，半径是斜边长的一半，即r＝，所以外接圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5.2．方法一：(几何法)如图所示，由题设

6、AC

7、＝r＝5，

8、AB

9、＝8，所以

10、AO

11、＝4.在Rt△AOC中，

12、OC

13、＝＝＝3.设点C坐标为(a，0)，则

14、OC

15、＝

16、a

17、

18、＝3，所以a＝±3.所以所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25.方法二：(待定系数法)由题意设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝25.-8-/8考试因为圆截y轴线段长为8，所以圆过点A(0，4).代入方程得a2＋16＝25，所以a＝±3.所以所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25.3．圆心坐标为(1，2)，半径r＝＝5，故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.　确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待

19、定系数法，如方法一，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如方法二，一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．【补偿训练】　圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的方程为________．【解析】AB的垂直平分线方程为y＝－3.由解得圆心C(2，－3).半径r＝AC＝＝.所以圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝5类型二　点与圆的位置关

20、系(数学抽象、直观想象)【典例】已知点A(1，2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，某某数a的取值X围．【思路导引】点A到圆心的距离⇒d≥r⇒a的取值X围．【解析】由题意，圆心C(a，－a)，半径

21、a

22、，-8-/8考试点A在圆C上或圆C外部，所以≥

23、a

24、，所以2a＋5≥0，所以a≥－.因为a≠0，所以a的取值X围为∪(0，＋∞).　判断点与圆的位置关系的方法(1)只需计算该点与圆心的距离，与半径作比较即可；(2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断．1．点