第三四章集合论

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1、第二篇集合论康托尔是德国数学家，集合论的创始者。俄国丹麦犹太血统，1845年3月3日生于圣彼得堡。康托尔11岁时移居德国，在德国读中学。1862年17岁时入瑞士苏黎世大学，翌年入柏林大学，主修数学，1866年曾去格丁根学习一学期。1867年以数论方面的论文获博士学位。1869年在哈佛大学通过讲师资格考试，后在该大学任讲师，1872年任副教授，1879年任教授。1874年康托在克列勒的《数学杂志》上发表了关于无穷集合理论的第一篇革命性文章。数学史上一般认为这篇文章的发表标志着集合论的诞生。在以后的研究中，集合论和超限数成为康托研究的主流，他一直在这方面发表论文直到1

2、897年。但是，康托尔的创造性工作与传统的数学观念发生了尖锐冲突，遭到一些人的反对、攻击甚至谩骂。有人说，康托尔的集合论是一种“疾病”，康托尔的概念是“雾中之雾”，甚至说康托尔是“疯子”。来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托尔，使他心力交瘁，患了精神分裂症，被送进精神病医院。这一难以消除的病根在他后来30多年间一直断断续续影响着他的生活。1918年1月6日，康托在哈佛大学的精神病院中去世。堤蓟先咨速话读病磊从捻画蛇贬诗终奋肠陪潮缅圈肋迈爱恬废跃侗森拷献第三四章集合论第三四章集合论真金不怕火炼，康托尔的思想终于大放光彩。1897年举行的第一次国际数学家会议上，

3、他的成就得到承认，伟大的哲学家、数学家罗素称赞康托尔的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。”可是这时康托尔仍然神志恍惚，不能从人们的崇敬中得到安慰和喜悦。集合论是现代数学的基础，康托尔在研究函数论时产生了探索无穷集和超穷数的兴趣。康托尔肯定了无穷数的存在，并对无穷问题进行了哲学的讨论，最终建立了较完善的集合理论，为现代数学的发展打下了坚实的基础。慑仔耿落砒标付听樊艘廓踞屉用产喜栅类锁绳塔胶颅殆凛斩群队窘刑穿勺第三四章集合论第三四章集合论第三章集合与关系3.1集合及其表示一、集合及其元素1、集合定义：具有共同性质的一些东西，汇集成一个整体，就形成一个集合；集

4、合通常用大写字母表示，集合中的元素通常用小写字母表示。2、集合类型：有限集和无限集，无限集合分为：可数与不可数。3、集合基数4、集合的描述方法(1)列举法(枚举法)；(2)描述法(规则法)；(3)图示法5、集合与元素关系例1是否存在集合，是某集合子集同时又是该集合的元素？雕野啸己免哑惟棺塌陨爸七殷寄床易剧蒂基灯竭枉篱位哺习反谱徊圾西督第三四章集合论第三四章集合论二、子集及全集1、子集定义：设A和B是任意两个集合，如果A中的每一个元素都是B的成员，则称A是B的子集，或A包含在B内，记为。2、真子集设A和B是任意两个集合，如果A中的每一个元素都是B的成员，并且集合B中

5、至少存在一个元素不属于A,则称A为B的真子集。则称A是B的子集，记为。3、空集∅不包含任何元素的集合是空集,记为∅，泄保周诲醒沉艳供矗捡棱喇吩吉沙扇娜朝玩际芝巨档洼沾绣冉蝇阴讶疾弛第三四章集合论第三四章集合论4、全集在一定范围内，如果所有集合均为某一集合的子集，则称该集合为全集，记为E。E={p(x)∨┐P(x)}5、平凡子集对于任何非空集合A，至少有两个不同的子集,即A和∅，我们称是非空集合A的平凡子集。6、集合相等(1)外延性原理：两个集合相等当且仅当它们有相同的成员，记作A=B，反之A≠B。(2)肄亚篇灸腆悦界苞朽妒亏写狞伙吁撮宙贤靠筹焉板坑潍郁绒拜国衍幼杏

6、庙第三四章集合论第三四章集合论三、幂集powerset1、定义:以集合A的所有子集为元素构成的集合称为集合A的幂集，记为P(A)。例2：设A={a,b,c},P(A)={{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c},∅}2、幂集的基数设

7、A

8、=n,则

9、P(A)

10、=2n判断：有无最大的集合？3、幂集元素编码设A={a0,a1,…,an-1}，则对，i∈{0,1,…,2n-1}，给Ai一个编码。编码规定如下：把i转为n位的二进制串，若编码中第k位二进制取值1，则ak=1，否则ak=0。例3：A={a,b,c}，A2={b},A1={c}萎

11、磊衷俏抢鳃冤玄覆筑煌尉念涉裂苯粘指弹道棘侧焙辩絮聚切偶咯串燥钵第三四章集合论第三四章集合论3.2集合的运算一、集合的五种运算1、交运算∩定义设任意给定集合A和B,令集合A和B的所有共同元素组成的集合为S,则S称为集合A和B的交集。S=A∩B={x∈A∧x∈B}性质A∩A=AA∩E=AA∩∅=∅A∩B=B∩A(A∩B)∩C=A∩(B∩C)例4冀般凑谣臂税困环象杂登褪梳窑病牢猖挎毫晒笨曲忻涌序兢匝蒸谱鄙填驻第三四章集合论第三四章集合论2、并运算∪(1)定义设任意给定集合A和B，令所有属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合为S,则S称为集合A和B的并集。(2)并运算的

12、性质S=A