数学小课题研究教学案例数学延伸性研究课

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数学延伸性研究课数学延伸性课题，是从课本内容生发出来的课题。由课本上的有关例题、小资料或练习题引发而来的，与学生当前所学的数学内容有紧密联系，不是教材内容，超出了教学规定的要求，但也是学生感兴趣的、有能力研究的数学内容。（7）“+、－、×、÷”符号的来历执教日照市实验学校刘芸评析日照市实验学校邱冬梅一、课题的确立加减乘除等数学符号是我们每一个人都熟悉的符号，不光在数学学习中离不开它们，几乎每天的日常生活也离不开它们。二年级下学期在学习了这四种运算以后,有个学生问我：“老师，＋、－、×、÷号是怎么来的？”其他学生也没有知道的，他们急切地说：“老师你快告诉我们吧！”苏霍姆林斯基说“在人的心灵深处，有一种根深蒂固的需要，希望自己是一个发现者、研究者、探索者。”

1如何适应并满足学生的这种需要，这就要求教师必须充分尊重学生，重视发挥学生的能动性。只有这样，学生的探究体验才会迸发出智慧的火花，个性才能得到发展和张扬，创造潜能才会得到挖掘。尽管这个知识在三年级教材才出现，但新课程要求老师创造性地使用教材。于是，我告诉他们：“老师也不知道。不如，咱们成立几个研究小组，分头查找资料怎样？”就这样，学生兴致很高地投入到这一课题的研究中了。二、课题的布置与指导全班同学利用各种途径调查了解加、减、乘、除号的来历，并做好记录。我在指导过程中发现还有小部分学生搜集了其他符号“=、>、<”的来历。其间有一个学生提出疑问“这些符号都是外国人创造使用的，我国古代怎样运算的呢？”这个问题提得很好，我再次发动学生查找资料进行研究。根据学生研究的情况和研究成果分成5个研究小组，每一类为一个研究小组。第一小组：“+、－”的来历，第二小组：“×”号的来历，第三小组：“÷”的来历，第四小组：算筹，第五小组：“=、>、<”的来历。各小组整理记录，我提示学生可以设计简单的图表说明或做成幻灯片展示自己的成果。三、课堂教学实录（一）谈话导入

2数学除了数字以外，还需要一套符号来表示数和数的相互关系。数学符号的发明和使用比数字晚，但是数量多得多。现在常用的有200多个，它们的来历都很有趣。同学们利用课余时间搜集了“+、－、×、÷”的来历，让我们一起来分享一下吧！【评析：老师的谈话让学生知道数学符号的数量非常多。这200多个数学符号中跟学生见面的非常少，除了本节课同学们研究的数学符号外其它的数学符号又是怎样来的呢，学生会自然而然地想到这个问题。老师的几句话在点燃学生兴趣的同时更引发了学生的好奇心，接下来对研究小组的汇报肯定会多了一份期待。】（二）汇报    1、第一研究小组生：我们小组研究了“+、－”的来历。加号、减号都是十五世纪德国数学家魏德曼创造的，在横线上加一竖，表示增加；从加号中减去一竖，表示减少。中世纪以后，欧洲商业逐渐发展起来。传说当时卖酒的人，用线条“-”记录酒桶里的酒卖了多少。在把新酒灌入大桶时，就将线条“-”勾销变成为“＋”号，灌回多少酒就勾销多少条。商人在装货的箱子上画一个“＋”号表示超重，画一个“－”号表示重量不足。久而久之，符号“+”给人以相加的形象，“－”号给人以相减的形象。

3当时德国有个数学家叫魏德曼，他非常勤奋好学，整天废寝忘食地搞计算，很想引入一种表示加减运算的符号。魏德曼巧妙地借用了当时商业中流行的“＋”和“－”号。1489年，在他的著作《简算和速算》一书中写道：在横线“－”上添加一条竖线来表示相加的意思，把符号“＋”叫做加号；从加号里拿掉一条竖线表示相减的意思，把符号“-”叫做减号．法国数学家韦达，对魏德曼采用的加号、减号的记法很感兴趣，在计算中经常使用这两个符号。所以在1630年以后，“＋”和“－”号在计算中已经是屡见不鲜了。 投影出示：魏德曼(德国)------1489------“+、-”师：第一研究小组从中世纪以后欧洲的卖酒业讲起，给我们生动地讲述了“＋”和“－”是怎样被发明、怎样被使用的，掌声送给他们。2、第二研究小组生1：我们小组研究了“×”号的来历，美国数学家欧德莱把“+”旋转了半圈，于是发明了“×”号，是另一种表示增加的意思。

4    生2：我还有补充。英国数学家奥屈特于1631年提出用“×”表示相乘，英国数学家赫锐奥特首创用“．”表示相乘，德国数学家莱布尼茨认为：“×”号象拉丁字母“X”加以反对，而赞成用“．”号，他自己还提出用“n”表示相乘。可是这个符号现在应用到集合论中去了。    投影出示：奥屈特(英国)------1631------“×”赫锐奥特(英国)------“．”师：第二研究小组告诉我们美国数学家欧德莱把“+”旋转了半圈，于是发明了“×”号，英国数学家赫锐奥特首创用“．”表示相乘，使大家了解了“×”号的来历，掌声送给他们。3、第三研究小组 生1：我们小组研究了“÷”的来历。“÷"最初作为减号，在欧洲大陆长期流行。直到1631年英国数学家奥屈特用"："表示除或比，另外有人用"-"（除线）表示除。后来瑞士数学家拉哈在他所著的《代数学》里，才正式将"÷"作为除号。 生2：我还有补充。18世纪，瑞士人哈纳在给孩子分西瓜时，一刀把西瓜切成两半，于是他发明了“÷”，就是用一条线把两点分开。师：哈纳非常善于思考，在分西瓜时一刀把西瓜切成两半，受到启发，发明了“÷”，很值得我们学习。

54、第四研究小组 生1：我们小组研究发现，我国古代用算筹进行加减法运算，没有用“＋”和“－”号。算筹是一种像筷子一样的小棒，把算筹摆成各种形状可以表示。各种数目。下面的算筹就分别表示1-9。   多位数也同阿拉伯数字一样由各算筹自左至右横列，竖、横式相间隔，数字零用空位表示，就可以摆出任意大小的数目，进行计算。    当时要计算213＋121＝334，用算筹是这样进行的：上面两个方框的意思是：左边方框的上位加下位，等于右边方框的中位．这是我国古代加、减运算的特色。生2：咱们古代用算筹进行计算还挺有趣呢。我还想了解更多的知识，你还知道哪些？生1：不好意思，我现在只知道这些，不如咱们课余一起深入研究吧！

6师：大家感兴趣吗？课后积极行动吧！【评析：研究小组的汇报让同学们非常感兴趣，提出还想知道更多的关于算筹的知识，研究小组的成员非常谦虚，实事求是，同时又引出了一个新的研究课题。】5、第五研究小组生：我们小组还了解了“=、>、<”的来历呢！十六世纪法国数学家维叶特用“=”表示两个量的差别。可是英国牛津大学数学、修辞学教授列科尔德觉得：他觉得两根粗细长短一样又完全平等的线表示“等于”再合适不过，于是等于符号“=”就从1540年开始使用起来。1591年，法国数学家韦达大量使用这个符号，才逐渐为人们接受。十七世纪德国莱布尼茨广泛使用了“=”号。公元1631年，一个名叫哈里奥特的人把“＝”分别向两边张开，就发明了大于号>和小于号<。  （三）欣赏同学们通过自己查阅资料知道得真不少，谁对筹算有兴趣的话，课余继续研究好吗？老师这里有一个“+、－、×、÷”号的来历动画，请大家欣赏。  （欣赏课件）【评析

7：老师是整堂课的引导者，在掌握了研究小组研究成果基础上，还特意准备了课件，通过动画的形式让同学们再次深入地了解“+、－、×、÷”符号的来历，既提高了学生的兴趣，又作了一个有效的补充，开阔了学生的眼界。】四、课后研究的及研究成果的展示交流研究小组汇报时，有学生对算筹表现出浓厚的兴趣，可是在本节课上所获得的资料没有满足他们的需求。于是在我的提议下，学生自发组成研究小组，继续深入研究我国古代用算筹计算的知识。我把学生的研究成果、所写的报告，在班级数学角展示出来，共同分享。学生很有成就感，同时也激发了更大的学习热情。【评析：学生的兴趣被点燃了，自发组成小组进一步研究关于算筹的知识。老师及时地把学生的研究成果展示出来，让学生体验到成功的快乐，建立了学好数学的信心。】五、教学反思本节课主要让学生了解“＋、－、×、÷”号的来历，对于二年级的学生来说，能够自行上网查到相关内容，并和全体同学共同分享就达到目的了。我完全放手让学生自己去解决的。在学生搜索资料的过程中，及时了解情况，适时地有针对性的进行点拨。根据学生获取资料的不同分成几个研究小组。当发现有的学生对“＋、－、×、÷”号以外的其他符号如“＝”，“＞、＜”

8的来历发生兴趣时，鼓励他们继续深入挖掘，多多获取知识，满足学生浓厚的求知欲望。随着课题研究地深入，有的小组开始思索，这些符号都是外国人发明的，我国也用吗？这时，鼓励他们积极探索，于是引出了“算筹”。但由于时间的限制，学生对算筹研究得还不够深入，还有好多疑惑，我没有给予解答，而是留下了问题，把学生带到了下一个课题研究中。学生的汇报思路清晰，为了充分展示本小组的研究成果，他们积极开动脑筋，绘制简单图表，下载图片做成幻灯片等等。通过本次课题研究，学生搜集资料能力、动手能力、语言表达能力、协作能力、研究能力得到了发展，学习兴趣浓厚，以后我还要多为学生提供这样的机会。【总评：兴趣是最好的老师，对低年级的学生来说尤其如此。本课题尊重学生的意愿，充分发挥了学生的主观能动性，让全体学生都参与其中，享受成功的喜悦。我想这就是本堂课之所以成功的秘诀吧。具体说来。本节课有以下几个方面值得借鉴学习。1、课题的选择适合低年级学生做研究。二年级的学生年龄小，研究能力、整理资料的能力及口头表达能力都很有限，所以课题的选择不宜太难。本课题来自于学生的问题，教师敏感地抓住了这个问题让学生研究，并且在研究的过程中没有拔高难度，只要学生能搜集到资料、了解到相关知识就行了，这非常符合低年级学生的特点。

92、教师及时根据学生的研究成果进行调整，让研究成果得以全面展示。在课题产生之初，学生只提出来研究“＋、－、×、÷”号的来历，但随着研究的深入，学生已不满足于“＋、－、×、÷”这四个符号，而是搜集到了别的数学符号，如“=><”,此外还有算筹的知识。对此，教师适时调整了汇报计划，让搜集到这部分知识的同学也来展示，让整个研究变得更加丰满。3、在汇报中自然产生新的研究课题。当学生汇报到算筹知识的时候，老师根据学生的意愿，提出可以继续深入研究关于算筹的知识，使小课题研究延续下去。学无止境，本节课让学生初步知道了做学问的道理，这对他们今后的发展奠定了有益的基础。】（8）面积比拼执教日照市第二实验小学许丽评析日照市东港区教研室刘加昆一、课题的确定

10五年级下学期时，学生已学习了长方形、正方形、三角形、平形四边形、梯形的面积计算方法，练习当中有一道题是：在周长一定的情况下，长方形和正方形，谁的面积更大？学生对此有比较浓厚的兴趣，在讨论的过程中，学生又提出新的问题，比如周长一定的情况下，什么三角形的面积最大？周长不变，怎样让平行四边形、梯形的面积最大？把学生提出的问题综合以后，我们确定了“面积比拼”这一研究课题。研究这一课题既能考察学生对已有知识的掌握情况，又是对学生综合应用能力的挑战，难度又不是很大，属于学生跳一跳就能摘到果子的范围，利于学生获得成功的体验。另外，本课题的研究便于学生采用实验、操作、观察、计算、分析比较、讨论等多种活动进行。学生在研究过程中不仅可对长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形这几种平面图形的本质特征有深刻的理解，还能发现它们之间的内在联系，构建起比较完整的知识网络，促进学生空间观念的发展。二、课题的布置与指导在确立研究任务以后，有兴趣的学生自主选择研究主题，并组建研究小组，每组4-6人。每个小组在共同研究“周长一定的情况下，长方形、正方形谁的面积更大”的任务基础上，各有所侧重。一组全是女孩子，主要研究长方形、正方形、平行四边形的面积情况；二组的研究力量相对薄弱，完成基本的研究任务即可；三组全是男孩子，动手能力、思维能力、创造能力强，侧重研究三角形、梯形的面积情况；四组、五组侧重于研究周长一定情况下，谁的面积最大。

11研究过程中，研究小组成员及时向老师汇报他们的研究方法及研究成果，老师作相应的指导。比如一组采用计算的方法，老师指导他们如何画表格记录数据，并依据数据进行有效的分析；三组研究三角形时，一开始用很多一厘米长的小棒来摆图形，但是摆出的图形很不规则，无法准确测量计算出图形的面积，老师与他们共同想办法，最后确定用不易拉伸的尼龙线做成周长12厘米的线圈，然后用它来围成各种三角形，使研究顺利进行。三、课堂教学实录（一）导入师：同学们，截止到现在，你们已经学会计算哪些图形的面积？生：长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形。(板书：长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形。)师：这些都是平面图形，乍一看，彼此之间好像没有联系。但善于思考的同学提出这样一个问题：假如这几种图形的周长相同，它们的面积会怎样，谁的面积会是最大的呢？前段时间我班的小数学家们对此进行了较深入的研究，还给他们的研究起了一个响亮的名字叫“面积比拼”。(板书：面积比拼)那他们到底有什么发现呢？今天，就让我们一起来听听他们精彩的汇报吧，有请一组同学。【评析：

12引导学生回顾所学平面图形，暗示它们之间存在一定的联系，为研究小组的汇报交流做铺垫，同时激发了未参与研究学生的好奇心。】（二）汇报展示1、一组汇报展示：长方形、正方形、平行四边形的面积关系邵若涵：大家好!我们组研究的是长方形、正方形、平行四边形。我们是采用数据说明来比较面积大小的。在周长相同的情况下，我们把周长设定为100厘米，那么长和宽可以是多少呢？生1：可以是49和1生2：可以是30和20生3：可以是48和2邵若涵：你们说得很对，我们把它依次排列起来，请看这张表格。（出示表格）长49，宽1，长48，宽2，这样依次排列下去，可以排列到长和宽分别是多少？生：25和25。邵若涵：对了，这就是一个正方形。这张表格中，哪个长方形的面积最大？生：24、26，面积是624。邵若涵：你找得很对，我们把这个面积与正方形的面积比较一下，正方形的面积是625平方厘米，625大于624，所以在周长相同的情况下，围长方形和正方形，围成的正方形面积最大

13楚梦雪：刚才，我们发现正方形的面积最大，我们继续来看这张表格，看面积这一栏，从下往上看，同学们发现了什么？生：从下往上看，面积越来越小。从上往下看，面积越来越大。楚梦雪：那么，这跟长和宽有什么关系呢？生：长和宽的长度越接近，面积就会越大，长和宽的长度差距越大，面积就会越小。楚梦雪：对，你说的就是我们组的发现，同学们对我们的研究有什么问题吗？生：有没有最小的面积呢？楚梦雪：你提的问题，我们组也想到了，在这张表格上最小的面积是49平方厘米，其实还有比它更小的面积，同学们请看这张表格，（出示表格二）大家看，长49.9，宽0.1，面积是4.99；长49.99，宽0.01，面积是0.4999。再往下看，它们的面积越来越小，因为再往下还有很多例子，所以我们用省略号表示。通过看表格，我们发现永远找不出最小的面积，但是我们能找出最大的面积，那就是围正方形的时候。孙怡雯：下面由我来汇报平行四边形的研究情况，我做了2个平行四边形，周长都是60厘米，（拿第一个平行四边形）我拉动它的两个对角，它的面积会有什么变化？

14生：面积变小了。孙怡雯：为什么？生：高变短了。孙怡雯：你说得很对，那么向里推动两个对角，它的面积又会慢慢变大，请问同学们，它的面积什么时候最大呢？生：成为长方形的时候。孙怡雯：是这样的，大家再看四条边都相等的这个平行四边形。拉动它的两个对角，面积也会慢慢变小，再向里推动两个对角，面积又会慢慢变大，请问同学们；它的面积什么时候最大？生：成为正方形的时候孙怡雯：所以综合前面的研究结果，我们认为，周长一定时，围成的正方形面积最大，我的汇报完毕。李雪：下面由我来说一下平行四边形在生活中的实际应用，平行四边形容易变形的特性在我们的生活中有许多实际的应用，例如我们学校的电动推拉门，就是由一个个平行四边形连接而成的，平行四边形的高变短，面积变小，电动推拉门慢慢合拢到一边，同学们和车辆就可以自由出入了，当平行四边形的高变长，面积变大，电动推拉门就会关紧，我们就不能自由出入了，我的汇报完毕。

15师：一组同学采用了数据计算、实验演示的方法进行研究，她们的发现还真不少呢，感谢一组同学的精彩汇报，有请二组同学。【评析：小课题研究对学生能力的培养是普通课堂无可比拟的，正因为他们深入细致的研究，所以他们才能有理有据的汇报自己的发现，所以才能与台下同学展开互动交流，并在同学的质疑面前处变不惊，有条不紊的回答！】2、二组汇报展示：长方形、正方形的面积关系（发现了一个数列）牟不雨：大家好！我们组研究的方法和1组同学一样，也是用数据来研究长方形与正方形，我们也发现了周长相同时，围成的正方形面积最大。有一点不同的是，我们发现了一个数列。大家看这张表，我们把周长定为24厘米，用24÷2＝12，12就是一个长与宽的和，长和宽可以是11、1，10、2，9、3，8、4，7、5，6、6。面积分别是11，20，27，32，35，36。大家请看，36和35的差是1；35和32的差是3；32和27的差是5；27和20的差是7，20和11的差是9，1、3、5、7、9，这不就是一个奇数列吗？我们又把周长定为20厘米，用20÷2＝10，10是一个长与一个宽的和，长和宽可以分别是9、1，8、2，7、3，6、4，5、5。面积分别是9，16，21，24，25。大家请看面积栏，24与25的差是1，21与24的差是3，16与21的差是5，9与16的差是7。1、3、5、7，这也是一个奇数列。

16我们又把周长定为26厘米，这时又有了一个新的发现，同学们想知道吗？用26÷2＝13，13是一个长与宽的和，长和宽分别是12、1，11、2，10、3，9、4，8、5，7、6，面积分别为12、22、30、36、40、42，42和40差了2，40和36差了4，36和30差了6，30和22差了8，22和12差了10，2、4、6、8、10，这一次是一个偶数列！为什么前两次是奇数列，这一次是偶数列呢？经过研究，我们觉得问题出现在长与宽上，为什么呢？因为前两次长和宽的和是双数，所以是奇数列，后一次的长与宽的和是单数，所以是偶数列，大家还有什么问题要问我吗？生：如果长和宽是小数，会不会存在这样的数列？牟小雨：我的研究在整数范围内，没有涉及到小数的情况。师：这个同学的问题提得非常好，你们小组课下做一下研究，然后再交流好吗？二组同学也采用数据计算的方法研究了长方形、正方形，发现周长相等时正方形的面积最大，但她们并没有满足于这一发现，而是继续研究数据之间的关系，发现了有趣的数列，她们是不是应该得到表扬呢？（生鼓掌）师：三组同学又会带给我们什么发现呢？有请三组同学汇报。【评析：

17学生的探究总是伴随着意外和惊喜，今天他们能发现一个数列，谁敢说他们明天不会有更伟大的发现呢？】3、三组汇报展示：画方格图的方法研究长方形、摆小棒来研究梯形、计算和数方格来研究三角形郑润东：大家好，我们组采用了画方格图的方法研究长方形，大家看这4幅图。（图略）我们一眼便可以看出图4的面积最大，而它也是这些图中长和宽最接近的，由此可以得到一个结论，当周长一定的时候，长方形的长和宽越接近面积越大，如果我们由下往上看，就会发现长和宽的差距越来越大，面积越来越小，由此又可以得到一个结论，当周长一定时，长方形的长和宽差距越大，面积越小。师：老师想问一个问题，你们为什么要采用画方格图的方法，这种方法有什么优势？郑润东：我们觉得这种方法更直观，能看出长和宽的变化，还有面积的变化。师：你说得很好，二组同学不妨也用画方格图的方法来研究一下你们的数列问题，请你们继续汇报。葛昊：我研究的是在周长相同的情况下，什么梯形的面积最大，在我讲之前，先请同学们猜一猜在周长相同的情况下，什么梯形的面积最大？我们组研究的结果是这样的，先确定周长是13

18厘米，然后再用13根1厘米长的小棒摆出一个梯形，它的上底是4厘米，下底是6厘米，高是0.9厘米，两腰分别是2厘米和1厘米，面积是4.5平方厘米。接着我又摆出一个上底4厘米，下底5厘米，高是1.9厘米的等腰梯形，面积是8.55平方厘米，比上一个梯形的面积大。现在我们把图1和图2比较，图1上下底之和较大，高很短，图2与图1比较上下底之和变化不大，但高变长了，是1.9厘米，面积变成了8.55平方厘米，自然变大了，通过这个比较，我们可以发现在周长相同的时候，一个梯形上下底之和大，高越短，面积越小，上下底之和大，高越长，面积越大。怎样才能使梯形面积再大一些呢？下面请金煜坤来汇报。金煜坤：下面由我来汇报，大家看，图1、图2高都在梯形的里面，高不是周长的一部分，要想增大梯形的面积，就要充分利用周长，也就是让高成为梯形的一条边，就是要成为一个直角梯形，刚才葛昊已经说了，只有上底下底之和大，还不行，高也要大，面积才能大，所以我摆了这样一个梯形，上底3厘米，下底3.5厘米，高是3厘米，另一斜边为3.5厘米的直角梯形，通过计算得出它的面积是9.75平方厘米，这个面积比前两个面积都要大，那9.75

19是不是就是最大的面积呢？不是，大家现在都知道周长相同时，围长方形、正方形，围出的正方形面积最大，大家看，图4已经接近正方形，如果它继续接近正方形面积就会越来越大，由此可得结论，在周长相等时，一个近似于正方形的直角梯形在梯形中面积最大。我的汇报完毕，请问同学们有什么问题呢？下面请张涛继续汇报。张涛：大家好！我重点研究的是周长相等的时候什么三角形的面积最大，一开始我并没有研究出来，后来请教老师，老师说可能等边三角形的面积最大。于是我们进行验证。确定周长为12厘米，先画出一个等边三角形，边长为4厘米，然后测量出三角形的高是3.4厘米多一点，计算出它的面积是6.8平方厘米，然后我又想周长12厘米还可以围成什么样的三角形呢。然后我剪了一根长度为12厘米的线，用它围成了以下几种三角形，通过测量计算出了它们的面积分别是5.75平方厘米、5.225平方厘米、3.135平方厘米、4.6平方厘米，它们却都小于等边三角形的面积，所以说，周长相等时等边三角形的面积最大。我的汇报完毕，同学们有什么问题吗？生：有没有比等边三角形再小一点的面积？张涛：我围出来的图形，除了等边三角形，就是直角三角形的面积最大了。

20师：前面同学提出的问题是不是说，有没有比直角三角形面积大，比等边三角形面积小一点的三角形，是吗？生：是。张涛：那我回去再围一围，看一看吧。师：那好，有结论了，你们再交流，好吗？师：三组同学发现了周长相等的三角形，等边三角形的面积最大，周长相等的梯形中，近似于正方形的直角梯形面积最大，这是多么了不起的发现啊，表扬三组同学。（生鼓掌）师：四组同学又会带给我们什么惊喜呢，有请四组同学继续汇报。【评析：师生之间、生生之间互学、互勉。教师富有激励性的评价既促进了师生之间的共同发展，又让学生体验了自主探究解决问题带来的无穷魅力和成功体验】4、四组汇报展示：在周长一定的情况下，什么图形的面积最大。陈晓：大家好！我们组研究的是在周长一定的情况下，什么图形的面积最大，为什么？我们做了广泛的研究，运用了各种工具，比如钉子板就是其中的一种，我们请王宇来给大家作汇报。王宇：以上三组同学们已经做了非常精彩的汇报。我们组的结论与其它组相同，只是采取的方法不同，我们组采用的是取一定的周长20

21厘米，在钉子板上围图形。我在钉子板上围了1-5号图形，1-4号是长方形，5号是正方形，5号图形的面积大于1-4号的任何一个长方形的面积，所以在周长一定的情况下，正方形的面积比长方形的面积大。陈晓：王宇同学是用钉子板证明在周长一定的情况下，正方形的面积最大，那你们有什么问题要问王宇吗？如果没有的话，请方红宇继续汇报我们的研究。方红宇：上面王宇讲了正方形的面积最大，我觉得还有比正方形面积更大的图形，那就是圆形。我用相同周长的圆形和正方形作了一个比较。我先画了一个圆形，用绳子围了围，然后又用尺子测了测，它的周长是54厘米，我用54÷4＝13.5（厘米），求出正方形的边长是13.5厘米，我把它画在了圆形的正中央。大家可以看到，正方形的四个小角的面积小于阴影部分的面积，所以说圆形的面积最大。师：老师说明一下，因为我们还没有学习圆，所以方红宇同学画的这个圆形是用家里塑料桶的圆盖，比着画的，是不是很有创意呀！看来，生活中随处可见的东西也能为我们的研究提供帮助。苏文轩：我想问个问题，你把正方形画在了圆形的正中央，如果往下画会怎么样。方红宇：如果往下画，正方形露在圆形外面的还有4个角的和，4

22个小角的和小于圆形比正方形多出的部分，还是能看出圆形的面积大陈晓：我们在研究圆形时，还有一些意外的发现，也能说明圆形的面积最大，请韩欣汇报一下。韩欣：我们小组在研究的过程中，还了解了这样一条知识，在日常生活中，用来装液体的东西通常为圆柱形，也就是底面是一个圆形，这是因为在底面积相同的情况下，三角形的周长最长，正方形的周长第二，圆形的周长最短，也就是说做出同样高度的杯子，底面是圆形的最省材料。既然面积相等的情况下，圆形的周长最短，那同学们我们倒过来想，周长相等的情况下，不就是圆形的面积最大吗？【评析：正是因为小课题研究不受课堂时间的限制，所以学生才有了充分探究的机会，充分的探究空间。也正因为这样，学生才自主探究出了圆形的面积最大。】师：同学们听明白了吗？生：没有师：那老师再解释一下，在面积相同的情况下，三角形的周长最长，圆形的周长最短，那反过来想，如果周长相同，不就是……生：圆形的面积最大。师：对，“反着想”其实就是反向思维，许多创造发明就是运用反向思维产生的。如果同学们能在生活中主动地运用反向思维思考问题，也许你们会有许多了不起的发现呢。

23生：我想问个问题，为什么说底面是圆形的杯子最省材料呢？韩欣：刚才我们已经作了初步说明，如果你们还不明白，我们可以回去做底面是三角形、正方形、圆形的杯子来验证一下，欢迎有兴趣的同学加入我们组。师：四组同学的汇报非常精彩，而且还引发了同学们深层次的思考，不简单，表扬她们，有请五组同学继续汇报。【评析：展示交流活动是互动的，其他学生也可以参与讨论、质疑，课堂充满了生动活泼、富有挑战的研讨氛围。在这样充满丰富交流的数学课堂中，所有学生都对数学获得了更好的理解，培养了思辩能力，培养了良好数学思维的习惯。】五组汇报展示：周长一定的情况下，什么图形的面积最大（摆小棒）张志强：大家好，我们小组研究的是周长一定的情况下，什么图形的面积最大，我们也发现了围长方形、正方形时，围成的正方形面积最大，下面请成山泉汇报我们与其它小组研究不一样的地方。成山泉：大家好！下面由我来为大家讲解为什么周长一定的时候圆的面积最大，我们为了方便，使用了小棒来摆图形，确定的周长是24

24厘米，前几组的同学已经采取了各种方法证明了正方形的面积最大，但是正六边形、正八边形，正十二边形的面积更大于正方形，不信咱们来做一个实验，把正六边形，正八边形，正十二边形的周长都确定为24厘米，那么正六边形的一条边便是24÷6＝4厘米，正八边形的一条边是24÷8＝3厘米，正十二边形的一条边是24÷12＝2厘米。我们分别用4厘米、3厘米、2厘米的小棒摆出正六边形、正八边形、正十二边形，它们的面积都大于正方形，而且它们的形状也越来越接近圆形。我们想当正多边形的边数很多很多，每条边的长度变成一个点的时候不就是个圆形了吗？所以说圆形的面积最大。师：边数越多，越接近圆形，最后就发展成了一个圆形，同学们的这个发现真的太好了。师：以上各组同学做了非常精彩的汇报，同学们看黑板上的这几种图形，周长相同时，面积最大的是谁？生：正方形。师：如果再加上圆形呢？生：圆形的面积最大【评析：没学过圆，却已研究了圆，不知道极限思想，却在不知不觉中渗透了极限的思想，这就是小课题研究的魅力。】（三）总结

25这次的课题研究，同学们表现出来的探究热情让老师惊讶，同学们在探究过程中的投入程度让老师欣喜，同学们在研究中展示出来的聪明才智让老师欣赏，同学们在研究中勇于克服困难的精神让老师感动。让我们为自己热烈地鼓一次掌吧!同学们还想继续这样的探究吗？希望同学们做生活的有心人，数学的有心人，去发现有价值的数学问题，我们再一起探究！四、课后研究及成果展示交流汇报展示课结束以后，学生的探究热情意犹未尽，纷纷询问什么时候再开展这样的研究，我说“做事情要有始有终，咱们这次的研究很成功，同学们也一定有很多收获，就把我们的收获写一写吧，形式可以是数学小论文或数学报告。”有的学生面有难色，有的学生跃跃欲试，我说：“没写过，不知道怎么写，对吧?怕什么，有老师呢。”终于在我的鼓励与辅导下一篇篇数学小论文诞生了。《什么三角形的面积最大》、《面积比拼》、《有趣的数列》等等，学生在论文里既叙述了自己的探究过程、研究方法，也谈到了自己的收获和体会。这些论文在市里评选时多数获得一等奖。为了激发大多数同学的探究热情，我们又把研究成果做成手抄报的形式张贴在教室，使越来越多的同学加入到了研究中来五、教学反思

26反思这次数学小课题研究活动，我也有很多的收获和体会。首先是学生所表现出的才能令我惊叹，尤其是某些平时不起眼的孩子，在探究和展示活动中出色的表现，使我对他们有了重新认识。我相信：孩子在活动中得到的体验将是他们今后人生路上的重要财富。其次，本次研究活动之所以成功，是因为选取的课题有研究的价值和可操作性。《面积比拼》以学生掌握的知识为基础，学生可采用计算、画图、测量、比较、摆小棒等多种方法研究，操作性强，避免了抽象、枯燥、学生无从下手的现象。另外，选取的材料学生感兴趣，通过努力可以解决问题。兴趣是最好的老师，学生对课题感兴趣，就会主动运用已有知识、生活经验及周围可以利用的一切资源，探求问题的解决办法。第三个体会是，老师在研究过程中要有针对性地指导，让学生体验探索和发现的基本过程，而不是把答案直接告诉学生。要在问题解决的过程中，特别关注学生被激发起来的求知欲望，充分让他们享受成功的体验，在学生获得了良好情感体验之后，他们会以一种主动的姿态投入到学习中去。【总评：《面积比拼》是以学生已有知识为基础的一次课外研究课，纵观本堂课有以下几个特点：1、以学生已有的知识为基础，选取研究课题。小课题研究能否顺利开展，并取得成功，选题非常重要。许老师以教材为资源开发生成了面积比拼这一研究课题，体现了教师对小课题研究有较准确的理解。课题难度不大，然而有价值、具有可操作性。从课堂展示中我们可以看到，学生的研究方法非常多，有计算、有测量、有画图、有摆小棒……

27这些方法都是学生能想到并已掌握的方法。这些研究方法使学生的研究不是空中楼阁，而是实实在在的。这也正符合了新课程理念：学生学习的内容要有利于学生主动的进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流。2、新课程对教师的角色定位是，学习的组织者、引导者、合作者。这样的角色定位在本次小课题研究中，得到了充分的体现。在研究初期，教师以组织者的身份指导帮助学生认识了解要研究的课题，促使学生形成一种主动探求知识、重视解决问题的积极态度，激发他们的积极参与意识；在研究过程中，以指导者、合作者的身份进行启发、引导，使学生走出误区，明确任务、改进方案，形成研究结论；在课堂展示中我们看到，老师还起着主持人的作用，老师通过灵活的主持，把五个小组的交流与汇报成果进行了有效的提升和有机的串联。3、学生展现出了良好的思辨能力。在课堂教学中，少不了学生的思辨，只有通过思辨，学生的思维才能变得敏锐和缜密，学生的情感才能得到陶冶和升华，学生的心智才能变得扩展和充盈。第三小组得出结论：周长一定，等边三角形的面积最大。学生并没有停留在听的层面上，而是在思考并提出问题：有没有比直角三角形面积大，比等边三角形面积小一点的三角形呢?

28又如：第四小组在演示时，把等周长的正方形画在了圆的中央，比较出圆的面积大，结果已经很清楚了，但仍有学生提出质疑：你把正方形画在了圆形的正中央，如果往下画还能看出来圆的面积大吗?学生这种严谨的数学精神让我们感到惊喜。】（9）魔力七巧板执教日照第四实验小学　张辉评析日照第四实验小学　张继彦一、课题的确定学生的学习生活中，会接触和使用到许多数学工具，近阶段学生学习三角形的图形拼组这部分知识时，课本上有一道题目：用七巧板拼三角形，你能想出几种不同的拼法？我把这部分知识作为课下研究任务让学生研究。在研究的过程中，学生对结构奇特的七巧板充满了好奇，产生了浓厚的兴趣，并提出了很多有关七巧板的问题：七巧板是怎么来的？它是由哪个国家发明的？七巧板是有哪几部分组成的？我们可以自己动手做出七巧板吗？七巧板除了拼图之外还有什么用处呢？看到学生们意犹未尽的样子和渴望探求知识的眼神，我陷入了深思。

29经过深入的资料搜集和思考，我认为，七巧板是一种良好的数学辅助学习工具，籍由它的使用，可以帮助学生理解更深入的数学概念。七巧板的构造不过是几块简单的几何图板，却能创造出千变万化的造型。七巧板是我国古代传统的益智游戏，但真让身处21世纪的学生把古代的益智游戏玩出名堂，还真没有几个人能做到。小学四年级学生在智力方面已经达到了一定的程度，如果能适当地加以引导，应该能调动起他们“玩”七巧板的积极性。由此，我决定把七巧板作为数学小课题进行研究。二、课题的布置与指导成立5-6个研究小组，各小组根据自己组的成员情况，确定本组研究的子课题。在研究伊始，根据学生提出的问题进行分组，分成了六个小组，分别是：七巧板的历史研究小组，七巧板的组成和制作研究小组，七巧板的用途研究小组，七巧板的玩法研究小组，七巧板的拼图研究小组，七巧板里的数学问题研究小组。

30经过初步的研究发现：七巧板的制作和组成研究小组，研究内容新颖，研究成果多，于是把这个小组分成了两个研究小组，即七巧板的构成研究小组和七巧板的制作研究小组；而七巧板的玩法研究小组和七巧板的拼图研究小组研究内容与七巧板的用途研究重合，且单独作为一个子课题略显单薄，因此将这两个小组并入七巧板的用途研究小组；而七巧板里的数学问题，部分研究内容与其七巧板的构成研究重合，因此将这部分并入七巧板的构成这一小组，另外关于七巧板的悖论和七巧板凸多边形的拼组问题，对于四年级的学生来说，难度太大，所以将这部分内容舍弃。最终确立了四个子课题：七巧板的历史、七巧板的构成、动手制作七巧板、七巧板与我们的生活有什么密切的关系（七巧板的作用）。然后指导学生按照拟定方案开展研究活动，激励学生克服困难、解决问题，并不断修订、完善研究活动的计划。其中包括：①收集信息，内容筛选。根据学生要开展的研究内容，组织学生有目的地收集有关信息资料。如学生通过查阅文本资料、上网浏览或走访等形式了解到了七巧板的历史渊源以及拼摆技巧、制作方法等。②设计实践，分类指导。活动小组需要根据大家收集的信息，选择有关材料，进行设计实践。如七巧板制作小组，大家通过观察、分析、研讨等活动，群策群力，最后确定了制作七巧板的方法：采用画格法和折纸法，每种方法分八步走；再如，七巧板的用途研究小组，学生通过小组合作，商讨出了一条从简单到复杂的研究之路，由七巧板在日常生活中的用途过渡到七巧板拼图，从而重点研究七巧板中的数学奥秘；七巧板的构成研究小组，从开始的只研究七巧板由哪几部分组成，到后来在老师的引导下，进一步研究每块板的特性，研究进展迅速。③跟踪指导，随时调控。通过一周的跟进指导，学生的研究日渐成熟，成果凸显。三、课堂教学实录

31（一）创设情境师：同学们，你们喜欢玩抢答游戏吗？我们先来做一个历史小知识抢答，我国古代有哪四大发明？韩子慧：有火药、指南针。张哲铭：还有造纸术、印刷术。师：对，四大发明是我们的骄傲，也是我们祖先智慧的象征。不仅如此，我们的祖先在游戏方面也充分展示了他们的聪明才智。同学们听好下面一个抢答题：中国古典游戏三绝是什么？【评析：教师由学生熟知的古代四大发明导入新课，接着引申到“古典游戏三绝”，引起学生浓厚的兴趣，学生对游戏非常感兴趣，急于知道分别是什么，充分调动起学生学习的积极性。】安祥丞：华容道。李秉承：七巧板。师：还有呢？还是老师告诉你们吧（课件展示“中国古典游戏三绝”图片）。华容道、九连环和七巧板被称为“中国古典游戏三绝”，而被西方人美誉为“东方魔板”的七巧板就是就是一个最有名的东方谜题。这节课我们就来感受一下“七巧板”究竟有多大的魅力。[出示课题]师：同学们，关于七巧板你想知道哪些问题？韩子慧：我想知道七巧板是干什么用的？

32张哲铭：我想知道七巧板为什么叫七巧板？张萌：我想知道怎样做七巧板？李敏：我想知道七巧板能拼成什么图形？【评析：学生对于中国的“七巧板”为什么会被西方人推崇为“东方魔板”充满好奇，并且引起探究的欲望，想知道“七巧板”的很多知识，提出许多有价值的问题，这是老师平时就注意培养学生提出问题、解决问题能力的结果。】师：同学们想知道的可真不少，课下我们七巧板研究小组的同学已经对七巧板进行了大量的研究，下面我们就来分享一下他们的研究成果好吗？生：好。（二）汇报展示1、第一研究小组汇报展示：七巧板的历史王孟菲：大家好！我们是七巧板历史研究小组。同学们，你们知道七巧板是哪个国家发明的吗?七巧板的历史有多久吗？我们小组通过上网查阅资料，对七巧板的历史进行了研究，下面就请我们小组的的杨禹同学先给大家介绍。

33杨禹：七巧板是我国古代劳动人民的发明，它已经有两千五百多年的历史了。最早的有关七巧板的记录是在《周髀算经》中（展示《周髀算经》中的七巧板），当时是将大正方形切割成四个同样大小的三角形和一个小正方形，还不是七巧板。现在的七巧板是经过一段历史演变过程的。下面请李琦同学接着给大家介绍。李琦：同学们，你们知道吗？那么神奇的七巧板，竟然是由一种古代家具演变来的。宋朝有个叫黄伯思的人，对几何图形很有研究，他热情好客，发明了一种吃饭用的小桌子，叫做燕几（展示燕几图）。比如3人吃饭就拼成三角形，4人就拼成四边形，6人就拼成六边形，这样用餐时人人方便，气氛更好。后来有人把它缩小成只有七巧板那么大，用它来拼图，演变成一种玩具。因为它十分好玩，所以人们叫它七巧板。同学们你们有什么问题吗？【评析：这个小组搜集了“七巧板”的详细历史资料，还能让同学们提出问题，勇气可嘉，看来是胸有成竹，做好了应对其他同学的准备。】生：七巧板是中国人发明的，难道外国人就不喜欢玩七巧板吗？安祥丞：我们小组搜集的资料中也有这方面的介绍。18世纪，七巧板传到国外，立刻引起极大的兴趣，有些外国人通宵达旦地玩它。据说拿破仑被放逐后就常常玩七巧板来消磨时光。生：请问七巧板能拼成多少种图形？安祥丞：七巧板可以拼成的图形有很多，荷兰人编写了一本有关七巧板的书，书中搜集了1600多种由七巧板拼成的图形。

34生：七巧板为什么叫七巧板呢？安祥丞：因为它是由七块板组成的。生：我想对这位同学的解释做个补充，因为七巧板是由七块板组成的，既小巧又好玩，所以叫做七巧板。生：请问七巧板是谁创造的？安祥丞：七巧板是宋朝人黄伯思创造的。生：请问七巧板是经过多少个世纪演变而来的？安祥丞：七巧板是经过上千年演变而来的。生：七巧板为什么有七种颜色？安祥丞：可能是为了好分辨才涂上的颜色。生：古代的七巧板也是用木头做的吗？安祥丞：是的。师：是用木头做的吗？你能解释一下吗？安祥丞：刚才李琦同学说过，七巧板是由宋朝的燕几演变过来的，因为燕几是一种家具，是用木头做的，所以七巧板是用木头做的。师总结：谢谢第一小组的汇报，他们从国内和国外两个方面谈了七巧板悠久的历史。（多媒体演示七巧板的历史发展流程图）其实七巧板发展到现在经历了很长的历史过程，七巧板最早叫做“乞巧”

35，后来演变为宋朝的燕几图、明朝的蝶几图，最后演变成现在的七巧板。现在的七巧板又分为三个流派，分别是方式、燕式和碟式，同学们请看，我们现在研究的七巧板是哪一种？生：蝶式。师：对，蝶式七巧板也是我们现在最流行的七巧板。七巧板是我国古代劳动人民的一项卓越发明，很多外国人都喜欢玩它，据说拿破仑、安徒生都曾经非常钟爱七巧板。直到今天，我们依然感受到古典游戏的魅力。其实，七巧板里还蕴含了很多数学知识呢。我们有一个小组就专门研究了七巧板的构成，我们一起来听听他们的想法。【评析：对于七巧板，教师从新的角度出发，适度拓展，系统阐述它的历史，使学生的认识得到深化。】2、第二研究小组汇报展示：七巧板的构成席昊：普通的七巧板竟然能拼成成千上万种图形，小小的七巧板里究竟藏着什么数学秘密呢？经过讨论，我们小组决定重点研究七巧板的构成，就先请张哲铭同学先来介绍我们的成果。张哲铭：七巧板，顾名思义，是由七块大小不同的板组成的，完整的图案是一个正方形。我想先提问同学们一个问题：你知道七巧板是由几种图形组成的吗？生：七巧板是由三种图形组成的。张哲铭：是哪三种呢？生：三角形、正方形、平行四边形。

36张哲铭：说得对。具体来说，七巧板是由五个三角形，一个正方形和一个平行四边形组成的。其中最大的两块是两个完全一样的等腰直角三角形，最小的两块也是两个完全一样的等腰直角三角形，还有一个三角形个头不大不小，也是一个等腰直角三角形。两外两块分别是一块正方形，一块平行四边形。张哲铭：我们还研究了七巧板整体图中线段的垂直和平行关系，下面就让我来简单的介绍一下。（演示线段的垂直和平行关系图）用相同的颜色表示一组平行线段和垂直线段，我们发现七巧板有十三组平行线段，有六组垂直线段。王昱文：我们小组还从面积出发，研究了各块板之间的联系：七巧板中最大板占总面积的，最小板占总面积的，七巧板中最大板是最小板面积的4倍。同学们，你们对我们的汇报有什么疑问吗？生：七巧板的面积是多少？王嘉鑫：七巧板的总面积是不固定的，可以说有十六个最小板那么大。生：那平行四边形占总面积的多少呢？王昱文：。因为我们小组将七巧板整体图进行分割分析：实际上七巧板是由16个最小板这样的基础三角形组成的。而平行四边形正好是由两个基本三角形组成的，所以占总面积的。生：为什么两个三角形就占总面积的呢？

37王昱文：因为一个最小的三角形占总面积的，两个就占了。生：正方形占总面积的几分之几？王昱文：和平行四边形一样，都是，因为它也是由两块最小的三角形组成的。席昊：我们还从角的度数出发研究了各块板，七巧板中七块板的角的度数只有三种：45度，90度，135度（演示度数）。生：刚才我举手了没提问到我，我对刚才的汇报有个问题可不可以现在问？师：可以。生：两个最大三角形的面积占总面积的几分之几？张哲铭：占总面积的。生：你们刚才说七巧板中一共有三种度数对吗？（对）七巧板拼成的图形中一共有几种度数呢？王嘉鑫：也是只有三种度数，分别是45度，90度，135度。【评析：学生从“七巧板”由三角形、正方形、平行四边形三种图形构成出发，研究了垂直和平行的关系、各种图形所占面积的大小、角的度数等问题，说明学生在课下进行了深入细致地研究。】

38师：通过刚才第二小组的汇报老师发现，他们在课下一定下了很多功夫，研究出了那么多内容。其实，老师也非常喜欢研究七巧板，玩七巧板拼图，看老师拼的小人还会跳舞呢。这些小人的头部占整个小人的几分之几？生：小人头部的面积占小人总面积的。师：为什么占呀？生：因为头部小正方形占整体图总面积的,而拼图后面积没变。师：一副七巧板里面竟然有那么多学问，而且都和我们的数学有关系，随着同学们年龄的增长和知识的增加，老师相信你们一定能发现七巧板里更多的数学奥秘。3、第三研究小组汇报展示：七巧板的制作师：在课下研究的过程中，有同学认为：七巧板这么神奇，我们能不能自己做一副七巧板呢？第三研究小组将带领同学们走进七巧板的制作世界，我们来听听他们的想法。李秉辰：大家好，我们小组研究的是七巧板的制作，第一种方法是画格法。我们发给大家方格纸，请大家跟着我们一起做。（出示画格法步骤图）第一步，首先在纸上画一个正方形；第二步，把正方形分为十六个小方格；第三歩，再从左上角到右下角画一条线；师：我想请问研究小组同学，你们发给同学们方格纸，他们应该从哪一步开始呢？李秉宸：从第三步开始。

39师：同学们就从第三步开始。李秉宸：第四步，在上面的中间连一条线到右面的中间；第五步，再在左下角到右上角画一条线，碰到第二条线就可以停了；第六步，再在左下角到右上角画一条线，碰到第二条线就可以停了；第七步，从刚才的那条线的尾端开始一条线，画到最下面四分之三的位置，从左边开始数，碰到线就可停了；第八步，把它们涂上不同的颜色，你就有一副全新的七巧板了。同学们还有什么疑问吗？生：制作七巧板的时候应该注意些什么呢？陈方会：这个问题我来回答，制作七巧板的时候要注意（指制作图）这条线是这条线的，做的时候要找线的中心点，然后连接。还有其它几条线也要先找到中心点，然后连接。生：我对你的回答很满意。【评析：学生对于“七巧板”的制作回答很详细，学生很满意。可别小看学生的评价“很满意”，一般来说，学生对于同伴的回答，都带着挑剔的眼光，当他感到“很满意”时，说明学生对这个小组的研究实在是无可挑剔，也说明学生在课下进行了大量、深入的研究。】生：难道只有这一种做七巧板的方法吗？

40陈方会：还有一种制作七巧板的方法，是折纸法（投影演示折纸法步骤）第一步，先裁一个正方形；第二步，把正方形沿角对折，裁成两个一样的三角形；第三步，把其中一个三角形沿角对折，裁成两个相同的三角形；第四步，剩下的是一个等腰三角形，在等腰三角形的两条腰上找到中心点，连接得到一个三角形，裁下来，剩下的是一个梯形；第五步，将梯形对折，得到两个相同的直角梯形；第六步，再把其中一个梯形分成一个三角形和一个正方形；第七步，把另外一个三角形分成一个平行四边形和一个小三角形，第八步，涂上不同的颜色，七巧板就做成了。同学们对我们的汇报有什么疑问吗？生：用折纸法的时候应注意什么呢？有什么窍门吗？陈方会：要注意折的时候要对齐，不要折偏了，注意准确度。再就是要注意训练自己手指的灵活度。师：她把这个窍门都告诉你们了，满意吧，同学们？生：满意。生：折纸法一共有几步？陈方会：我们一共展示了八组图形，所以我们把它分为八步。生：那画格法有几步呢？李秉宸：画格法也有八步。生：用画格法做七巧板简单还是用折纸法做七巧板简单呢？李秉宸：每种方法都有它的优点。

41师：同学们通过刚才的体验，你觉得哪一种更简单，更好呢？说说你的理由。生：折纸法可以直接裁下来，而划线法还要剪下来，容易剪歪。所以折纸法更好。生：我觉得折纸法简单，因为折纸法用的工具少一些。师：老师也有跟你一样的想法。生：我觉得画格法比较标准。陈方会：你们是用的现成的方格纸，所以你们才会觉得画格法简单。【评析：学生的这些交流，老师没有任何引导，都是自发的提问与解答，而且是在思维的深层方面进行互动交流，说明学生养成了善于倾听、全员参与研究的好习惯。】师：我们一起用掌声感谢制作小组的同学。（全体鼓掌）生：我觉得画格法比较简单，但是也有缺点，就像刚才同学说的，划线的时候如果不直就会画偏。还有，画格法剪的时候可能会剪偏。师：他替大家总结了一下，真不错。生：我觉得折纸法更方便一些。师：跟刚才那位同学们想法一样。生：刚才同学说的折纸法是简单，不过一定要对齐，不然就不标准了。师：说得好。

42生：除了这两种方法，就没有别的方法做七巧板了吗？陈方会：由于我们搜集的资料有限，时间也有限，我们就不在这里给大家介绍了。生：有第三种方法，可以用木头做。陈方会：我反对你的说法，用木头做有危险性而且还有技术含量，所以不太适合我们小学生。师：你同意他的说法吗？生：同意。【评析：学生大胆陈述，相互质疑，勇于挑战，气氛热烈。学生自有学生的看法，允许有不同的想法存在，只要学生自己感到方法是最优的，不必过于统一。这样既培养了学生的思辩能力，又培养了学生的语言表达能力和逻辑思维能力。】师：用木头怎样做七巧板我们留到以后再研究，好吗？谢谢七巧板制作小组的汇报。在这里老师还要告诉大家一个秘密，探究小组手里拿的七巧板都是这一小组同学的作品，让我们再次用热烈的掌声感谢他们的劳动。师：同学们，七巧板有什么用处呢？生：可以用来拼图。师：七巧板到底能拼成什么图，除了拼图之外七巧板还有什么用处呢？第四小组的同学将带给大家更多七巧板的魅力和神奇。

434、第四研究小组汇报展示：七巧板的用途韩子慧：我们觉得，七巧板这么巧妙、好玩，它除了拼图之外，一定还有很多用途，我们通过上网查资料，发现七巧板一共有三种用途：第一种，七巧板可以用来拼人或物，这些图案很风趣，有一定的艺术价值；第二种：七巧板可以开发孩子的智力，如手眼协调能力等；第三种：七巧板可以用来研究数学等。许怡然：七巧板可以拼出千变万化的图形，如：烛台、稻草人、小兔、锤子、风景、字母等。（逐一展示拼图）请问同学们有什么疑问吗？生：七巧板可以拼成数字吗？韩子慧：可以，我们就拼出了两组数字，数字3和数字9。（展示拼图）师：看他们拼得像吗？生：像。生：七巧板可以用来当建筑工具吗？韩子慧：我觉得你提的这个问题好像不太对吧？你的意思可能是七巧板可不可以用在建筑这方面。师：你同意她说的吗？生：同意。韩子慧：七巧板的用处非常多，它在建筑方面，比如说在盖房子的时候应该是有用的。你对我们的回答满意吗？

44生：满意。生：刚才同学说在工程上用到七巧板，请问七巧板在其他方面还有什么用处吗？韩子慧：七巧板的用途很广，在我们看来，七巧板应该还有很多用途，但在这里我们主要就介绍这三种。师：她们在这里只介绍三种，其他的用途你们在课下继续交流，好吗？生：我还有一个问题，第一组同学说一副七巧板可以拼成1600多种图形，你们也用七巧板拼了一些图形，请问，在这1600多种图形中，哪种图形的面积是最大的？韩子慧：七巧板不管怎么拼，它的面积都和原来的整体图面积相等。生：刚才第一小组说用七巧板可以拼成1600种图形，这1600种图形全部是由七块板组成的吗？韩子慧：对，全部都是由一副七巧板组成的。赵晶：我们还研究了用七巧板拼几何图形。长方形，（展示拼图）用其中的两块大三角形斜边对在一起成一个正方形放在左边，中号三角形的斜边紧靠大三角形的直角边，然后上面放那个平行四边形和小三角形，下面放小三角形和正方形就成了。

45韩子慧：（展示拼图）平行四边形，只需把两个大三角形按上面的方法一左一右相反放在由那些小东西组成的正方形的两边就行了。赵晶：（展示拼图）三角形，只要把两个大三角形按上面的方法一个在那些小东西组成的正方形上边，一个放在侧边就可以组成一个最大的三角形。韩子慧：（展示拼图）我们组还拼了五边形和直角梯形。下面，哪位同学能用最短的时间拼出一个五边形呢？试一试吧。师：同学们利用我们手中的七巧板试一试。韩子慧：可以参考大屏幕上的图形。师：有一个小组已经拼完了，你要过去检查一下吗？韩子慧：看一下吧。这位同学拼得非常标准，我想问一下，你能只挪动一块板，就把它变成直角梯形吗？师：其他同学也可以试一试。韩子慧：这位同学的方法和我们是一样的，你只要把上面五边形大三角形拿下来放在旁边，就可以拼成一个直角梯形了。师：你们同意吗？生：同意。生：我想给你们提个建议，你们在介绍拼图的时候说得并不详细，比如在说拼平行四边形的时候，中间的那个正方形你们并没有说出是怎样拼成的。

46师：你的意思是说，她们在说怎样拼正方形的时候介绍得不详细，对吗？生：对，没有说明方向，如果方向不对，胡乱拼就不能拼成一个正方形了。韩子慧：正方形的拼法，我们在介绍拼长方形的时候已经详细介绍过了，如果你听得不够清楚的话，我们还可以给你再讲一遍，需要吗？师：你们可以在课下再交流一下。生：我想问一下，七巧板可以拼成等腰三角形吗？韩子慧：应该是可以的，但是具体可不可以我们还要试一下。师：同学们，七巧板可不可以拼成等腰三角形，动脑想一想，动手拼一拼。韩子慧：可以拼成等腰三角形。只要把两个大三角形按照刚才的方法一左一右放在由其它五块板拼成的正方形的旁边就可以了。生：我还想问一个问题，你们怎么能确定这是一个等腰三角形呢？韩子慧：我们在课下的时候用尺子量过了，它的两条腰是相等的。师：老师可以帮他们分析一下吗？因为两个大三角形是完全一样的，所以他们的斜边也是完全一样的，所以有两条边相等的这个三角形是等腰三角形。

47生：七巧板一共可以拼成1600多种图形，它们一共可以分为几类？韩子慧：大致可以分为人物类、动物类还有机械类。生：你们说有那么多种图形，能给大家展示一下吗？师：他们小组拼成的图形刚才已经给大家展示过了，一会儿由老师来给大家展示更多的图形，好吗？生：好。师：谢谢第四小组精彩的汇报。（鼓掌）师：实际上，七巧板在生活中还有很多用途，比如说可以做书橱，一个书橱可以像摆七巧板一样摆出不同的样式。（课件展示各种拼图）七巧板拼成的图形也有很多，同学们请看，可以拼成动物类，有马、企鹅、长嘴狗等，还有人物类，有跑步的人、渔夫、搬运工，有机械类的飞机、船、桥等等。七巧板不光可以拼图还可以讲故事呢，看这就是一个守株待兔的故事（课件展示守株待兔故事）。其实，七巧板还可以做动画片呢，信不信？（播放七巧板小动画）【评析：学生从自己的角度进行思考，总结了“七巧板”的用途，介绍“七巧板”可以拼成的图案、图形等等，符合学生的研究特点，看起来比较散，结构也不很清晰，恰恰说明老师对于学生的研究没有包办代替，让学生用自己的眼光看待课题研究。】（三）总结

48师：同学们，拿起你的七巧板，看着它，你有什么话要说？张哲铭：七巧板你拼成的图形真多。安祥丞：七巧板你的历史太悠久了。李敏：七巧板我太喜欢你了。汪嘉鑫：七巧板你的用途太广了。李秉宸：七巧板太奇妙了，我非常喜欢你。陈方会：七巧板里的数学奥秘可真多，真值得我们去研究。韩子慧：七巧板，虽然我们今天已经研究了你的很多知识，但是你还有许许多多的奥秘我们还没有去研究，以后我一定会继续研究你的。师：同学们说得太好了，我们一定会继续研究七巧板的。对吗？生：对。师：同学们请看，大屏幕上显示的就是一个有名的七巧板谜题，请看这两个图形的面积一样吗？（课件显示七巧板悖论）生:不一样（一样）。

49师：同学们，由于时间关系这个问题我们留到课下再研究，老师先把结果告诉大家，虽然表面上看起来它们的面积不一样，但实际上是一样的，因为它们都是由一副七巧板拼成的，这就是有名的七巧板谜题之一——七巧板悖论。一副简单的七巧板，竟藏着这么多的数学奥秘，我们每个人都有一双善于发现的眼睛，一个善于思考的大脑，才能不断体会到数学的魅力。更多关于七巧板的奥秘还有很多，同学们如果有兴趣可以在课下继续研究。四、课后研究及成果展示各小组交换研究子课题，在继续研究自己原有子课题的基础上，对自己感兴趣的内容进行深入研究。由于小课题研究成果汇报课之前，各小组都是各自进行研究的，互不沟通，所以在汇报课后交换研究内容，有利于学生更深入地研究。由于学生的出色研究表现，课后对于有关“七巧板”的研究继续深入，如对“七巧板悖论”材料的进一步搜集和用七巧板拼凸多边形的研究等，重点研究用一副七巧板拼四边形、五边形有多少种拼法。各研究小组将研究成果收集整理装入档案袋，并用照片等形式录入电子档案。向家长汇报研究成果和收获，将家长反馈情况在班内进行交流。五、教学反思短短的40分钟，在同学们你一言我一语的交流汇报中悄然溜走了，铃声响了，下课了，可是孩子们的一双双小手仍然举得高高的：“老师，我还有！”

50在这堂课上，孩子是富有观察、思考、想象和激情的，在相互交流碰撞中不时闪现的智慧火花让我心潮澎湃，感叹不已。小组汇报时的井然有序，展示成果时的积极踊跃，交流体会时的深刻反思，拼图时的单纯快乐都给我留下了深刻的印象。课堂上以学生为主体，激发学生思考，较好地达到了课题研究的目的。1、放手让学生说。整堂课的主体内容是，学生以小组为单位向全班同学交流汇报他们小组取得的研究成果。而我，只作为一个主持人的角色，处于导的地位，随时调控课堂进程。2、及时补充，及时追问。这节课，我能根据学生的实际需要随机地调整教学行为，及时补充，及时追问，不断找到新的教学生长点，促进了学生思考，促进了学生发展。3、注重学生间的相互交流和思维碰撞。学生间的交流、碰撞很重要。要在课堂上让学生自己也成为一种很好的课程资源，教师和学生都可以从反馈信息中不断调控自己的“教”和“学”，这样的控制不再是传统意义上的控制，而是教师的“他控”和学生“自控”的完美结交流驿站3（日照第四实验小学张辉）（5）听了数学小课题研究课后，我有点疑惑，是否一节课开始的情境创设应该淡化呢？答

51：情境创设是为学生的学习服务的，而不是为了创设情境而创设情境，情境创设是一堂常规课新课导入的一种重要形式，是为了让学生更快地进入本课学习，更好地进行学习。小课题研究大大提高了课堂效率，需要学生课前进行研究，课题会提前告知学生，既然学生已经知道了要研究和学习的内容，所以新授课前的情境创设完全可以淡化或不要。（6）数学小课题研究怎样才能面向全体学生？答：我认为小课题研究其实是可以面向全体学生的。比如同一研究课题，可以对优生、中等生、后进生提出不同的要求，后进生重在理解，中等生重在掌握，优生重在灵活应用。让他们都能跳一跳摘到桃子，激发每一位学生的积极性，这样小课题研究就尽可能的面向全体学生，这也是我今后努力的方向。（7）小课题研究在乡村小学能持久开展吗？答：这个问题我想结合自身的情况来谈一谈，我是08年9月参加工作的，幸运的是，我一踏上工作岗位就接触到了数学小课题研究，参加了在新营小学举行的“开展数学小课题研究，优化单元教学”研讨会，我那时认为数学课就应该这样上。所以我在平时的教学中就注意采用这种方式来教学，注重培养学生的研究意识和研究能力。其实，数学小课题研究并不需要很多硬件设施，也不需要很长的时间，只要老师和学生有研究和学习的愿望，就可以进行了。合。在汇报小组和其他学生的精彩问答中，学生的思维火花发生激烈碰撞，对七巧板的研究逐步深化。

52当然，这节课还有很多不足：这节课，我有一些应该精彩的生成，没有及时抓住。例如，在讨论七巧板能不能拼出等腰三角形时，一生问：我还想问一个问题，你们怎么能确定这是一个等腰三角形呢？这时，我急于替学生作出解释，但没有解释清楚就匆匆略过了，如果当时能因势利导，放手让学生讨论，学生的收获将更多。另外，学生的汇报形式过于单一。【总评：张辉老师由古代四大发明到古典游戏三绝，恰到好处引出“七巧板”课题。这节课本着让每个学生都动起来，不同的学生得到不同的发展这一理念，课下让学生研究，并根据学生研究情况，精选成立了七巧板的历史、构成、制作、用途四个汇报小组，体现出教师在小学生数学小课题研究中所做的努力。本节展示课，放手让学生自己想象，激活创造性思维，通过研究小组的汇报，让学生充分感受到七巧板的无穷变化。课堂互动交流中生生互评，让学生学会自我欣赏和互相欣赏。动手实践、自主探索和合作交流等学习方式有实效。整节课充分发挥了学生的主体作用，自始至终贯穿了学生的活动，学生不断地动手、动口、动脑，思维始终处在活跃状态中。课后拓展进一步提高了学生的审美情趣，感受到七巧板的魔力所在。形成一种积极向上的学习氛围，激发学生的学习兴趣。

53教师对自己的角色定位准确，积极参与到学生的汇报讨论中去，充分发挥了组织者、引导者、合作者的作用。】