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1、基础实验基础实验一数列极限与函数极限第一部分实验指导书解读一、实验目的从刘徽的割圆术、裴波那奇数列研究数列的收敛性并抽象出极限的定义；理解数列收敛的准则；理解函数极限与数列极限的关系。二、实验使用的软件Mathematica5.0.三、实验的基本理论及方法1.1割圆术中国古代数学家刘徽在《九章算术注》方田章圆田术中创造了割圆术计算圆周率。刘徽先注意到圆内接正多边形的面积小于圆面积；其次，当将边数屡次加倍时，正多边形的面积增大，边数愈大则正多边形面积愈近于圆的面积。“割之弥细，所失弥少。割之又割以至不可割，则与圆合体而无所失
2、矣。”这几句话明确地表明了刘徽的极限思想。1.2裴波那奇数列和黄金分割由有著名的裴波那奇数列。如果令，由递推公式可得出，；。1.3收敛与发散的数列数列当时收敛，时发散；数列发散。1.4函数极限与数列极限的关系运行程序，得到函数图象，观察函数在x=0处的极限情况，再令x取不同数列，重复上述操作。四、实验的内容与步骤1.1以表示单位圆的圆内接正多边形面积，用下列Mathematica程序可以从量和形两个角度考察数列{}的收敛情况：m=2;n=15;k=10;For[i=2,i<=n,i++,l[i_]:=N[2*Sin[Pi/
3、(3*2^i)],k];(圆内接正多边形边长)s[i_]:=N[3*2^(i-1)*l[i]*Sqrt[1-(l[i])^2/4],k];(圆内接正多边形面积)r[i_]:=Pi-s[i];d[i_]:=s[i]-s[i-1];Print[i,"",r[i],"",l[i],"",s[i],"",d[i]]]t=Table[{i,s[i]},{i,m,n}](数组)ListPlot[t](散点图)再分别取不同组m=2n=50k=10,m=2n=100k=10,m=2n=200k=10,m=2n=50k=20,m=2n=50
4、k=30的值，重复上述操作，观察收敛情况。1.2用下列Mathematica程序可以从量和形两个角度考察数列{}的收敛情况：n=14,k=10;For[i=3,i<=n,i++,t1=(Sqrt[5]+1)/2;t2=(1-Sqrt[5])/2;f[i_]:=N[(t1^(i+1)-t2^(i+1))/Sqrt[5],k];(定义裴波那奇数列通项)rn=(5^(1/2)-1)/2-f[i-1]/f[i];Rn=f[i-1]/f[i];dn=f[i-1]/f[i]-f[i-2]/f[i-1];Print[i,"",rn,""
5、,Rn,"",dn];]t=Table[{i,f[i-1]/f[i]},{i,3,n}]ListPlot[t]再分别取n=50k=10,n=100k=10,n=50k=20,重复上述操作，观察敛散情况。1.3用下列Mathematica程序n=20;k=10;x[i_]:=N[Sin[i],k];d[i_]:=x[i]-x[i-1];p=Table[{i,x[i],d[i]},{i,1,n}]pb=TableForm[p]t=Table[{i,x[i]},{i,1,n}]ListPlot[t]再分别取n=50k=10,n=
6、50k=20重复上述操作，观察敛散情况。1.4用Mathematica程序m=0;r=10^m;x0=0;f[x_]=x*Sin[1/x]Plot[f[x],{x,-r,r}]Limit[f[x],x->x0]观察的图象可以发现，函数在点处不连续，且函数值不存在，但在点处有极限。令，作函数的取值表，画散点图看其子列的趋向情况k=10;p=25;a[n_]=1/n;tf=Table[{n,N[f[a[n]],k]},{n,1,p}]ListPlot[tf]Limit[f[a[n]],n→Infinity,Direction→
7、1]分别取不同的数列(要求)，重做上述过程，并将各次所得图形的分析结果比较，可知各子列的极限值均为上述函数的极限值。对于，类似地考察在点处的极限。五、实验思路提示3.1考察数列敛散性改变或增大，观察更多的项（量、形），例如，分别取50，100，200，…；扩展有效数字，观察随增大数列的变化趋势，例如，分别取20，30，50；或固定50；或随增大而适当增加。对实验要思考，例如，定义中的指标与柯西准则中的指标间的差异；数列收敛方式；又例如，如何估计极限近似值的误差。3.2考察函数极限与数列极限的关系改变函数及极限类型，例如，考
8、虑六种函数极限，既选取极限存在也选取极限不存在的例子；改变数列，改变参数观察更多的量，考察形的变化趋势；扩展有效数字，提高计算精度。要对实验思考，归纳数列敛散与函数敛散的关系。六、实验准备认真阅读实验目的与实验材料后要正确地解读实验，在此基础上制定实验计划（修改、补充或编写程序，提出实验思路，明确实验步
