模糊数学总结

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1、一、F集合1、F集定义设论域U上给定了一个映射A:U→0,1u

2、→A(u)则称A为U上的模糊(Fuzzy)集，A(u)称为A的隶属函数（或称为u对A的隶属度）。2、F集的截集定义设A∈F(U)，λ∈[0,1]，记(1)Aλ={u

3、u∈U,A(u)≥λ}称Aλ为A的一个λ截集，λ称为阈值（或置信水平）；(2)Aλ={u

4、u∈U,A(u)＞λ}称Aλ为A的一个λ强截集。3、F集的模糊度定义若映射d:FU→[0,1]满足条件：(1)当且仅当A∈P(U)时，d(A)=0,(2)∀u∈U，当且仅当A(u)≡1/2时，d(A)=1，(3)∀u∈U，当B(u)≤A(

5、u)≤1/2时，d(B)≤d(A)，(4)A∈F(U)，d(A)=d(Ac)，称映射d为F(U)上的一个模糊度，d(A)称为F集A的模糊度。该定义给出了关于模糊度的4条公里，它们所反映的现实是：条件（1）表明普通集是不模糊的；条件（2）和条件（3）表明，越靠近0.5就越模糊，尤其是当A(u)≡0.5时，是最模糊的，这时Ac(u)=1-A(u)=0.5这种模棱两可的情况是最难决策的；条件（4）表明F集A与其补集Ac具有相同的模糊度。二、F模式识别1、典型模式识别系统2、F集的贴近度定义设A,B,C∈F(U)，若映射N:FU×FU→[0,1]满足条件：(1

6、)N(A,B)=N(B,A)，(2)N(A,A)=1,NU,∅=0，(3)若，则，则称N(A,B)为F集A与B的贴近度。N称为F(U)上的贴近度函数。贴近度是对两个F集接近程度的一种度量。3、F模式识别原则F模式识别大致有两种方法，一种是直接方法，按“最大隶属原则”归类，主要应用于个体的识别；另一种是间接方法，按“择近原则”归类，一般应用于群体模型的识别。3.1最大隶属原则设Ai∈F(U)(i=1,2,…,n,)对u0∈U，若存在i0，使Ai0(u0)=max{A1(u0),A2(u0),…,An(u0)}则认为u0相对地隶属于Ai，这就是最大隶属原则

7、。适用于F集A只含有单一因素。3.2择近原则设Ai,B∈F(U)(i=1,2,…,n,)对u0∈U，若存在i0，使N(Ai0,B)=max{N(A1,B),N(A2,B),…,N(An,B)}则认为B与Ai最贴近，即判定B与Ai为一类。该原则称为择近原则。适用于F集A含有多个因素。4、隶属函数的确定方法直觉法、推理法、F统计法、三分法、二元对比排序法、F分布、人工神经网络法等；若将隶属函数的确定转换成一系列参数或系数的最优化过程，则目前已有的许多经典优化算法和群智能算法（如遗传算法、粒子群算法、蚁群算法、鱼群算法、免疫算法等）都可以运用。4.1二元对比

8、排序法通过两两比较（二元对比）确定U中各元素关于F集A的相对隶属度值或优先级，进而确定F集A的隶属函数，具体方法包括：相对比较法、择优比较法、对比平均法等。4.2F分布在客观事物中，最常见的是以实数R作论域的情形。把实数R上F集的隶属函数称为F分布，常见的F分布包括：矩形分布与半矩形分布、梯形分布与半梯形分布、抛物型分布、正态分布、哥西分布、岭形分布等。三、F关系与聚类分析1、F关系的定义设R是U×V上的一个F子集（简称F集），它的隶属函数确定了U中的元素u和V中的元素的关系程度，则称R为从U到V的一个F关系，记可见，F关系R由隶属函数所刻画，即U×V

9、上的F集确定了U到V的F关系。反之，F关系也是U×V上的一个F集。因此，所有从U到V的F关系的集，可记为F(U×V)，而F(U×U)表示从U到U的F关系，即表示U中的二元关系。2、F矩阵定义设矩阵则称R为F矩阵，为F矩阵的元素。特别的，若满足，则称R为布尔矩阵。由此可见，F矩阵与普通矩阵形状一样，不同的是F矩阵的元素都是[0,1]中的数。对有限论域U={u1,u2,…,um}，V={v1,v2,…,vn,}，若，则F矩阵表示从U到V的一个F关系，或者说一个F矩阵确定一个F关系。3、λ截矩阵设，记其中则称Rλ为R的λ截矩阵。若记则称Rλ为R的λ强截矩阵。

10、λ截矩阵Rλ表示λ截关系，即，有截矩阵必是布尔矩阵。4、F关系的对称性和自反性4.1F关系的对称性定义1设，则称为R的转置矩阵。其中（i=1,…,m,j=1,…,n）.定义2设，若R=RT，则称R为对称矩阵。定义3设，而，则称RT为R的转置关系，即，定义4设，则称R具有对称性（即是对称关系）。可见4.2F关系的自反性定义1若，则称R为U上的自反关系；若，则称R为自反矩阵。定义2若，有则称I为恒等关系。显然，5、F关系的合成设。所谓Q对R的合成，就是从U到W的一个F关系，记作。它的关系程度是当，记6、F关系的传递性定义1设，如果那么称R是传递F关系。可见

11、，。定理1R是传递的F关系的充要条件是定义2设，如果(1)；(2)Q是任意传递F关系且。则称为