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时间:2020-04-30
《双曲线标准方程的推导.docx》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、双曲线标准方程的推导把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.其中这两个定点叫做双曲线的焦点,两定点间的距离叫做双曲线的焦距.即当动点设为时,双曲线即为点集分析:当│MF1│>│MF2│时,│MF1│-│MF2│=2a(M在双曲线右支上)当│MF1│<│MF2│时,│MF1│-│MF2│=-2a(M在双曲线左支上)设动点M的坐标为(x,y)双曲线标准方程的推导:当│MF1│-│MF2│=2a时,有:(x+c)2+y2-(x-c)2+y2=2a(移项)⇒(x+c)
2、2+y2=2a+(x-c)2+y2(两边平方)精选⇒(x+c)2+y2=4a2+4a(x-c)2+y2+(x-c)2+y2(展开)⇒x2+2cx+c2+y2=4a2+4a(x-c)2+y2+x2-2cx+c2+y2(移项)⇒x2-x2+2cx+2cx+c2-c2+y2-y2=4a2+4a(x-c)2+y2(合并同类项)⇒4cx=4a2+4a(x-c)2+y2(两边除以4)⇒cx=a2+a(x-c)2+y2(移项)⇒cx-a2=a(x-c)2+y2(两边平方)⇒c2x2-2a2cx+a4=a2[(
3、x-c)2+y2](展开)⇒c2x2-2a2cx+a4=a2[x2-2cx+c2+y2](展开)⇒c2x2-2a2cx+a4=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2(移项)⇒-2a2cx+2a2cx+c2x2-a2x2-a2y2=a2c2-a4(合并同类项)⇒c2x2-a2x2-a2y2=a2c2-a4(按x,y顺序提取公因式)⇒(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)(c2=a2+b2,等量代替)⇒b2x2-a2y2=a2b2(两边除以a2b2)⇒x2a2-y2b2=1(a>0,b>
4、0)精选当│MF1│-│MF2│=-2a时,有:(x+c)2+y2-(x-c)2+y2=-2a(移项)⇒(x+c)2+y2=-2a+(x-c)2+y2(两边平方)⇒(x+c)2+y2=4a2-4a(x-c)2+y2+(x-c)2+y2(展开)⇒x2+2cx+c2+y2=4a2-4a(x-c)2+y2+x2-2cx+c2+y2(移项)⇒x2-x2+2cx+2cx+c2-c2+y2-y2=4a2-4a(x-c)2+y2(合并同类项)⇒4cx=4a2-4a(x-c)2+y2(两边除以4)⇒cx=a2-
5、a(x-c)2+y2(移项)⇒cx-a2=-a(x-c)2+y2(两边平方)⇒c2x2-2a2cx+a4=a2[(x-c)2+y2](展开)⇒c2x2-2a2cx+a4=a2[x2-2cx+c2+y2](展开)⇒c2x2-2a2cx+a4=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2(移项)精选⇒-2a2cx+2a2cx+c2x2-a2x2-a2y2=a2c2-a4(合并同类项)⇒c2x2-a2x2-a2y2=a2c2-a4(按x,y顺序提取公因式)⇒(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)
6、(c2=a2+b2,等量代替)⇒b2x2-a2y2=a2b2(两边除以a2b2)⇒x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)通过以上推导可知,一个方程x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)涵盖了动点M左右两支运动轨迹,而不是一支运动轨迹。故称其为“双曲线标准方程”。精选
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