行列式性质的运用

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1、第3卷第1期南京审计学院学报V01．3，No．12006年2月JournalofNaniingAuditUniversityFeb．，2006行列式性质的运用耿锁华(南京审计学院应用数学系，江苏南京210029)[摘要]本文运用多项式方程根的理论和行列式性质巧妙计算行列式，同时给出范德蒙行列式的简化计算方法，并举例说明了行列式性质在解方程中的应用。[关键词]范德蒙行列式；克莱姆法则；逆矩阵[中图分类号]0151．22[文献标识li马]A[文章编号31672—8750(2006)01—0086—03一、行列式性质行列式计算是线性代数中的重要内容，在历届考研数学试卷中都占有一席之地。

2、然而其计算并不容易。在教科书中，对于一些常见行列式的计算大多是按照行列式性质按部就班地进行，计算过程较为繁琐；有时还会根据定义进行计算，计算量更大。本文运用多项式方程根的理论和行列式性质巧妙计算行列式，同时给出范德蒙行列式的简化计算方法，并举例说明了行列式性质在解方程中的应用。在此先给出多项式方程根的基本定理和行列式基本性质：定理1：惫次多项式厂(z)构成的方程厂(z)一。至多有忌个实数根。定理2：如果X。是方程厂(z)一0的一个实根，则多项式厂(z)中一定含有(z—zo)的因子，即厂(z)一(z—z。)^(z)，其中^(z)是比．厂(z)低一次的多项式。行列式性质：行列式中有两

3、行对应元素相等，则行列式的值为零。二、利用行列式性质解方程24682z268例：解方程：=035719357z2+3利用行列式的性质可观察出：z一±2，z一±4是方程的根。另根据行列式的定义观察出行列式中z的最高次幂是4次(且系数不为零)可判断出方程的根至多只有4个，故方程的根是：z一±2，z一±4。[收稿日期]2005—10—31[作者简介]耿锁华(1965一)，男，江苏金坛人，南京审计学院应用数学系副教授，主要研究方向为金融工程数学。·86·万方数据三、利用行列式性质计算行列式例：计算行列式D(z)ala2a3⋯a"口1xa3⋯nnD(z)一ala2Z⋯口n⋯Za1a2a3利

4、用行列式的性质可观察出z一口。，a。，⋯，a。时D(z)的值为零，即：z一口z，as，⋯，a。是方程D(z)一。的根。另根据行列式D(z)的定义观察出行列式中的最高次幂是(以一1)次(且系数为1)可判断出方程D(z)一0的根就是z一口：，n。，⋯，a。。再利用D(z)中主对角线上元素之积系数为a。可知：D(z)一口-(z一口z)(z—a3)⋯(z一口。)。四、利用行列式性质计算范德蒙行列式我们称下面的行列式为范德蒙行列式一～D(x】，觑，⋯，岛)一一～，就西～矿，娩商～万。觑商～玎一。磊z一万将D(x1，z2，⋯，z。)中Xii一1，2，⋯，咒不加区别看作D(z)，那么D(z)-

5、---0就是一个咒(，2—1)／2次的方程，和上例一样分析：利用行列式的性质可观察出Xi一乃巧一1，2，⋯，n时范德蒙行列式的值为零不妨称是方程D(z)----0的根，或者说D(x。，zz，⋯，z。)中含有(五一乃)的因子，利用排列原理知至少有恕(竹一1)／2个根也即至少有咒(，z一1)／2个(五一zi)的因子。事实上行列式D(x。，z。，⋯．27。)中zi，Xj是对等的，我们根据行列式的定义略去五，为之间i，歹的区别，含有zi的最高次数(或各zi的各幂数之和)为以(理一1)／2，即至多有咒(彪一1)／2个根或至多有咒(咒一1)／2个因子；再利用主对角线上元素之积的系数为1可知：

6、D(x1，z2，⋯Xn)一Ⅱ(矗--xJ)一(z。--X1)(z。一z2)⋯(z。一z。一2)(z。--X。一1)(z。一1一z1)(z。一1mX2)⋯(z。一1一z。一2)(z3一z1)(z3--JT2)(z2一z1)五、利用行列式性质验证克莱姆法则中的解在克莱姆法则中证明Xi一台是方程ailXl+钆z：+纰z。+⋯+口加z。----bi的根(不妨令i一1)时[1]，我们可构造一行列式：alla12a1。b1a21(222a2。b2D卅1一anl口n2amb。alla12alnb1·87·万方数据显然D。+。的第一行和最后一行相同，得D一。一o。我们按最后一行展开就可观察出zi

7、一台是方程％z。+以i222+ni323+⋯+a加z。一良的根。六、利用行列式性质和克莱姆法则求逆矩阵～‰n一％n我们知道矩阵的逆矩阵是和它同阶的矩阵，不妨假设为X一～～●～‰H10⋯001⋯O根据逆矩阵的定义可知AX=工一，A中的元素和X中的第一列对应元素相乘可得一组⋯O01方程(共有以组这样的方程)：倪nz+⋯+n1。z。l口nz+⋯+a2nx。1r，●●●●●●●●●，、●●●●●●，●●L口dz+⋯+口。z。1根据克莱姆法则：⋯11口12⋯以h口111⋯口h口11口120