函数行列式的性质

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1、16.2函数行列式的性质、函数相关一、函数行列式的性质函数行列式不仅在隐函数存在定理中起着重要作用，而且在其他不少分析问题和应用中，也是经常出现的，它有以下主要性质：性质1设函数定义于某一维区域中，且有关于一切变元的连续偏导数.又设定义于某一维区域中,且有关于一切变元的连续偏导数.当点在中变动时,对应的点不越出区域.于是就可以通过中间变量把看为的复合函数.这时,关于的雅可比行列式与关于以及关于的雅可比行列式之间有着下面的关系这个性质,可以看为时复合函数求导公式的拓广.性质2设函数在某维区域中具有对各变元

2、的连续偏导数,并且它们的反函数存在,具有对各变元的连续偏导数.那么这个性质可以看做反函数导数公式的拓广.例1直角坐标与极坐标的变换为二、函数相关考察函数组它们在维空间的某一个区域中有定义.如果其中有一个函数的数值,例如,可以由其余函数的数值单值地确定时,就称函数在区域中和其余的函数有关,或称函数组在中函数相关.更确切地说,对维区域中任何一点,由函数组(个函数)相应地得到维空间内的一点于是对区域就相应地得到维空间内的一个点集.如果存在一个函数,它的定义域是维空间里的某一点集,并且包含了,使得成立,也就是在

3、区域上成立着则称函数组在上函数相关.为了能够应用微分学来讨论函数的相关性,我们总假设函数在维区域内具有对一切变元的连续偏导数.如果在区域内以及在的任何部分区域内都不存在这样的函数,使得在所考虑的区域内为恒等式,则称函数组在上函数独立.也就是说,只有在内以及在的任何部分区域内,函数组皆非函数相关时才称为在上函数独立.例2函数组在整个四维空间上函数相关.例3常数和任何函数都相关,亦即,若一组函数定义于区域上,其中有一个函数在内为常数,设为,那么这组函数在内数函相关.下面给出判别一组函数相关或独立的条件,为此

4、需要引进函数组的雅可比矩阵的概念.对于函数组我们称矩阵(如果矩阵中每一个元都存在的话)为函数组的雅可比矩阵.由雅可比矩阵的元所组成的在中不恒等于零的行列式的最高阶数称为这个矩阵的秩.由此可见,如果雅可比矩阵的秩是,那么由这个矩阵的元所组成的阶行列式中至少有一个在内不恒为零,而一切高于阶的行列式(假若有的话)恒为零.现在考虑函数组函数独立和函数相关的条件.假设这个函数组在区域内具有对一切变元的连续偏导数.定理1若,函数组的雅可比矩阵中有一个阶行列式在内不为零.例如不妨假设在内成立,则函数组在内是函数独立的

5、.定理2若函数组的雅可比矩阵在内的秩为;雅可比矩阵在点达到秩.亦即存在一个阶行列式,不妨设它为在点成立,则在点的某个邻域内成立:函数独立;若,那么函数组为函数相关.例4函数的雅可比矩阵中有一个二阶行列式无零点，所以这两个函数是函数独立的。例5设有两个函数当当当当容易验证,它们的雅可比行列式在第一象限内无零点,雅可比矩阵在第二和第四象限内的秩为1,在第三象限内的秩为零,所以只有在第一象限内它们是函数独立的.TheClassisover.Goodbye!