行列式的性质

《行列式的性质》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、行列式的性质基本性质性质1　行列式与它的转置行列式相等。性质2　互换行列式的两行(列)，行列式变号。推论　如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零。性质3　行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。推论　行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。性质4　行列式中如果有两行(列)元素成比例，则此行列式等于零。性质5　若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和，例如第j列的元素都是两数之和性质6　把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去

2、，行列式不变。一般利用行列式的定义计算高阶行列式比较繁琐，下面我们将推导出行列式的一些性质，为行列式的计算做准备.设，称行列式为的转置行列式．可以看成是的元素沿着主对角线旋转所得，亦可看成是将的所有行（列）按序写成所有列（行）所得（即所谓行列互换）．性质1.1行列式的值与其转置行列式的值相等，即.证明将等式两端的行列式分别记作和，对行列式的阶数用数学归纳法.当时，可以直接计算出成立，假设结论对小于阶的行列式都成立，下面考虑阶的情况.根据定义，-6-.根据归纳假设，于是.由归纳假设，可以把上面个阶行列式都按第1列展开，并

3、将含的项合并在一起，其值恰好等于，事实上.，其中余子式是的行、列互换后的行列式，他们都是阶行列式，根据归纳假设-6-.类似地，把含的项合并后其值等于，把含的项合并后其值等于，因此.由该性质，行列式中关于行所具有的性质，关于列也同样具有．因而，下面关于行列式的性质将仅对行叙述．性质1.2对行列式(1.3)中的任一行按下式展开，其值相等，即等于行列式的值.，（）(1.4)其中，为中划掉第行和第列的全部元素后，按原顺序排成的阶行列式，并称为元素的余子式，为元素的代数余子式.证明对行列式的阶数用数学归纳法.当时，可以直接计算出

4、结论成立.假设结论对小于阶的行列式都成立，下面考虑阶的情况.根据定义-6-.根据归纳假设可以按照第行展开，于是由归纳假设，把上面个阶行列式都按第行展开，并将含的项合并在一起，其值恰好等于，事实上（不妨取）.，类似地，把含的项合并后其值等于，把含的项合并后其值等于,因此，.性质1.5行列式两行相同值为零，即-6-(1.7)其中（）．证明利用数学归纳法，对于二阶行列式，（1.7）式显然成立.假设（1.7）式对于阶行列式成立，即如果阶行列式两行相同，则值为零.在阶的情况下，对行列式按第行展开（），.由于()，且为阶行列式且两

5、行相同，因此.所以，．　例．计算解：由于该行列式的所有列加到一起得同一个数a+(n-1)x，我们就根据这一特点，用行列式的性质6，将Dn的第2列，第3列，…，第n列的1倍同时加到第1列上去，再由性质3的推论，将公因子a+(n-1)x提出来，得-6--6-