行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等

《行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、一、行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等.行列式称为行列式的转置行列式.记证明按定义又因为行列式D可表示为故证毕性质2互换行列式的两行（列）,行列式变号.证明设行列式说明行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.i行S行交换D的第i行与第s行,得到行列式i行S行记D的一般项中n个元素的乘积为它的元素在D中位于不同的行不同的列,因而在中也位于不同的行不同的列,所以也是的一般项的n个元素的乘积.由于是交换D的第i行与第s行,而各元素所在的列并没有改变,所以它在D中的符号为在中的符号则为与排列排列的奇偶性相反,所以因而中

2、的每一项都是的相应项的相反数,所以例如推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.证明互换相同的两行，有性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式.推论1行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．推论2行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．证明性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.则D等于下列两个行列式之和：例如性质６把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．例如利用行列式的性质计算行列式，可以使计算简化，下面举例说明例：计算行列

3、式（1）解：因为第一行与第三行对应元素成比例，根据性质3的推论2得，计算行列式（2）解：因为第一列与第二列对应元素成比例，根据性质3的推论2得，计算行列式常用方法：利用运算　　　把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．化为上三角的步骤：如果第一行第一个元素为0，先将第一行与其他行交换，使第一行第一个元素不为0；然后把第一行分别乘以适当的数加到其他各行，使第一列除第一个元素外其余元素为0；再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式：依次作下去，直至使它成为上三角形行列式，这时主对角线上元素的乘积就是行列式的值。例１二、应用举例解证明：奇

4、数阶反对称行列式的值为零（利用行列式的性质）其中：证明：设利用行列式性质1及性质3的推论1，有当n为奇数时有，即例2计算阶行列式解将第都加到第一列得例2（属于特征题）的特征：所有行（或列）元素相加相等的行列式。这时可把所有行（或列）加到第一行（或第一列），提取公因子后再化简计算。常见计算题：等均可用上述计算方法。例：解方程解：即解之得是方程的n-1个根。例如一、余子式与代数余子式在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式，记作叫做元素的代数余子式．例如定理1.4行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和

5、，即二、行列式按行（列）展开法则（上式按第（）行展开）（上式按第（）列展开）证：1）首先讨论的第一行中的元素除外，其余元素均为零的特殊情况，即因为的每一项都含有第一行中的元素，但第一行中仅有，所以仅含有下面形式的项，再由等号由端方括号内正是的一般项，所以得到2）其次讨论行列式中第行的元素除外，其余元素均为零的情形，即得得3）最后讨论一般的情形由1.3节性质4的论述及上述2）的结论，可得这一结果对任意都成立。同理可证将按列展开的情形。例1定理行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证同理相同所以关于代数余子式的重要性质按

6、行展开：按列展开：（a）(b)例３计算行列式解按第一行展开，得例４计算行列式解说明：在计算数字行列式时，直接应用展开式（a）或(b)并不一定简化计算，因为把一个n级行列式的计算转换成n个n-1级行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用公式（a）或(b)才有意义，但这两个公式在理论上是重要的。课本：28页：例3，29页：例4例：讨论当为何值时解：所以，当且且时例：求证证：（提示：第2行乘以（-1）加到第一行，第3行乘以（-1）加到第2行，…,第n行乘以（-1）加到第n-1行）题型：行列式按行（列）展开定理的应用（提高型）分

7、析：根据行列式按行（列）展开定理，可将n阶行列式降到2阶行列式来直接计算，这样从理论上完全解决了行列式的计算问题。在实际计算中，有时会利用（i行）将某些低阶行列式（代数余子式或余子式）的计算转化为高阶行列式来计算。例：4阶行列式的值等于————解：法（1）由于本题零元素较多，可根据行（列）展开定理按第1行展开有法（2）用拉普拉斯定理求会更简单例：已知四阶行列式求的值，其中为行列式中元素的代数余子式分析：本题若直接计算4个余子式，计算较繁且易出现差错，反过来用按行（列）展开定理，化为一个四阶行列式的计算更简单。解：由于它是行列式中第2列元素与第4列元素代数余

8、子式的乘积之和，故由行列式按一列展开定理知思考题求第一行各元素的代