圆的面积环形面积的计算

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【本讲教育信息】一.教学内容：圆的面积环形面积的计算二.教学重点和教学难点：圆的面积教学重点：1、利用分割、拼摆将图形转化成已学过的图形的思路，推导出圆面积公式，并且会用面积公式解题。2、渗透极限思想，并培养学生动手操作的能力和逻辑判断推理的能力。3、进行初步的辨证唯物主义观点的启蒙教育。教学难点：1、利用转化思想推导公式。2、推导后公式的化简。环形面积教学重点：1、运用教具的演示和学生的操作，使学生了解圆环的形成，掌握环形面积的计算方法。2、理解环的意义以及环宽与内外半径的关系。3、培养学生思维的灵活性和深刻性。教学难点：环形的认识和面积计算。根据不同的条件解决环形面积。三.知识简要介绍：圆面积的研究方法同我们以前学习过的图形的面积研究方法相同，都是把新的图形通过割补拼接成原有的图形，在通过找新旧图形之间的关系时，找到计算的方法，这种方法是数学研究中经常用到的一种方法。圆的面积＝半径×半径×圆周率（S＝πr2）圆环的面积＝外圆面积－小圆面积S＝π（R2－r2）圆环面积的计算要注意的是条件的变换，可以用图形的形式把题目中的条件标出，帮助进行理解。研究了圆的面积与周长的计算之后，要注意对这两个概念进行区分，可以从以下的几点区分：（1）圆的面积是指圆所围平面部分的大小，而圆的周长是指圆一周的长度。（2）求圆面积的公式是S＝πr2，求圆周长的公式是C＝πd或C＝2πr。（3）计算圆的面积用面积单位，计算圆的周长用长度单位。［知识教学］一、圆的面积（一）复习引入1、思考：以前我们研究过哪些平面图形的面积？ 长方形的面积＝长×宽平行四边形的面积＝底×高三角形的面积＝底×高÷2梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷22、以前研究用到的方法通过分割、拼摆可以把一个新的图形转化成以前学过的图形，然后根据两个图形条件之间的联系，推导出新图形的面积。（二）研究圆的面积1、认识圆面积小结：圆所占面积的大小叫做圆的面积。2、转化提示：圆与以前我们学过的图形不太一样，分割的方法也不太一样。［1］转化成平行四边形的情况（我们是沿着半径分割的）（1）将圆平均分成8份（2）将圆平均分成16份小结：把圆等分的份数越多，圆周曲线就越接近直线，闭上眼睛想一想，如果继续分割下去，把圆平均分成无数等份，展开后，圆周曲线会怎样？（成为线段）找关系：这个平行四边形的底相当于圆的周长的一半，即，平行四边形的高相当于圆的半径，圆的面积＝2××r÷2×r＝r2［2］拼成长方形这个长方形的长相当于圆的周长的一半，即，宽相当于圆的半径，圆的面积＝2××r÷2×r＝r2［3］拼成三角形这个三角形的底是×4，三角形的高相当于4个半径，即4r，圆的面积＝×4×4r÷2＝Πr2 ［4］拼成梯形这个梯形的上底相当于圆的周长的×3，下底相当于圆的周长的×5，梯形的高相当于圆半径的2倍，圆的面积＝（×5＋×3）×2r÷2＝r2［5］用一个下面的图形推导计算的方法一个图形的底相当于圆的周长的，高相当于圆的半径，一个的面积是：×r÷2，圆是由16个这样的图形组合的，所以还要×16，圆的面积＝×r÷2×16＝r2（三）利用公式解决问题。1、知道半径、直径、周长的情况下，如何计算。圆形花坛的半径是10米，它的面积是多少平方米？10×10×3.14＝314（平方米）圆形花坛的直径是20米，它的面积是多少平方米？20÷2＝10（m）3.14×102＝314（平方米）圆形花坛的周长是62.8米，它的面积是多少平方米？62.8÷3.14÷2＝10（米）3.14×102＝314（平方米）2、变化的题目：周长：100×2＋80＋3.14×（80÷2）＝405.6（米）面积：100×80＝8000（平方米）80÷2＝40（米）40×40×3.14＝5024（平方米） 5024÷2＝2512（平方米）2512＋8000＝10512（平方米）3、在周长相等的情况下，正方形、长方形和圆面积的比较。设数来解决问题周长是6.28米正方形的面积：6.28÷4＝1.57（米）1.57×1.57＝2.4649（平方米）长方形的面积：6.28÷2＝3.14（米）长3米，宽是0.14米，3×0.14＝0.42（平方米）长2米，宽是1.14米，2×1.14＝2.28（平方米）圆的面积：6.28÷3.14÷2＝1（米）1×1×3.14＝3.14（平方米）结论：周长相等的情况下，圆的面积最大。4、圆与正方形的关系（1）圆的半径等于正方形的边长圆的面积是：r2正方形的面积是：r2结论：圆的面积是正方形面积的倍。练习：知道正方形的面积是5平方米，圆的面积是（15.7）平方米。（2）圆的直径等于正方形的边长圆的面积是：r2正方形的面积是：2r×2r＝4r2结论：圆的面积是正方形面积的/4倍。圆的面积与正方形面积的比是：157：2005、两个圆之间的关系甲圆半径是5厘米，乙圆半径是3厘米（1）甲圆半径和乙圆半径的比是5：3（2）甲圆直径和乙圆直径的比是5：3（3）甲圆周长和乙圆周长的比是5：3（4）甲圆面积和乙圆面积的比是25：9二、圆环的面积1、认识环形，推导公式。（1）生活中的例子：cd盘等。形状：（2）环形物体是怎样形成的？从大的圆中除去小的圆，剩下的就是环形环形面积＝外圆面积－内圆面积S＝R2－r2＝（R2－r2） 2、应用，解决问题。例1.一个圆环，内圆半径是2厘米，外圆半径是6厘米。它的面积是多少？6×6×3.14－2×2×3.14＝（36－4）×3.14＝100.48（平方厘米）3.14×(62－22)＝3.14×(36－4)＝3.14×32＝100.48（平方厘米）例2.练习。12÷2＝6（米）4÷2＝2（米）3.14×(62－22)＝3.14×32＝100.48（平方厘米）单位：米思考：如果给同学们的条件是周长，你应该怎么办？例3.有一个直径为10米的街心花坛，在花坛周围铺一条宽1米的石子路，求石子路的面积。10÷2＝5（米）5＋1＝6（米）3.14×(62－52)＝34.54（平方米）提示：求环形面积的题目根据题意画图表示，会帮助我们对题目所给的条件进行理解。三、补充的知识1、确定起跑线 最内圈：72.6×3.14159≈228.08（米）第二圈：72.6＋1.25×2＝75.1（米）75.1×3.14159≈235.93（米）235.93－228.08＝7.85（米）2、扇形以及面积的计算扇形的面积＝r2【模拟试题】（答题时间：30分钟）一、填空：1、一个圆的直径是1分米，它的周长是（），它的面积是（）。2、要画一个周长是15.7厘米的圆，圆规两脚间的距离应取（）厘米。3、用一根长12.56分米的铁丝，围成一个正方形，面积是（）平方分米，围成一个圆，面积是（）平方分米。4、在正方形内画一个最大的圆，正方形的面积是圆面积的（）倍。5、两个圆的周长比是2：7，面积的比是（）：（）。二、判断对错。（1）圆的半径是2米，它的周长和面积都相等。（2）圆的周长相等，圆的面积也一定相等。（3）半径越大的圆，面积也越大。（4）一个圆的周长是它的半径的Л倍。（5）半圆的面积等于该圆面积的。（6）半圆的周长等于该圆周长的。三、看图计算（1）左图中，阴影部分的面积是11平方米，你能计算出圆形的面积吗？ 四、选择1、一个半径是r的半圆形纸片，它的周长是（）。A、B、2rC、r＋2rD、r＋r2、小圆直径是大圆直径的，小圆的面积相当于大圆面积的（）。A、B、C、D、3、下面每个图形的周长都是12.56分米，面积最大的图形是（）。A、三角形B、圆C、长方形D、正方形五、解决问题（1）一个挂钟的分针长20厘米，1个小时后，这根分针的尖端所走的路程是多少厘米？（2）解放牌汽车轮胎外直径是8分米，车轮每分钟转250转，甲乙两地之间相距6.28千米，从甲地到乙地需几分钟？（3）一个圆形花坛的周长是314米，这个圆形花坛的面积是多少平方米？（4）街心有一个圆形花坛，直径8米，在花坛周围铺一条1米宽的石子路，石子路的面积是多少？ 【试题答案】一、填空：1、一个圆的直径是1分米，它的周长是（3.14分米），它的面积是（0.785平方分米）。2、要画一个周长是15.7厘米的圆，圆规两脚间的距离应取（2.5）厘米。3、用一根长12.56分米的铁丝，围成一个正方形，面积是（9.8596）平方分米，围成一个圆，面积是（12.56）平方分米。4、在正方形内画一个最大的圆，正方形的面积是圆面积的（4/）倍。5、两个圆的周长比是2：7，面积的比是（4）：（49）。二、判断对错。（1）圆的半径是2米，它的周长和面积都相等。错（2）圆的周长相等，圆的面积也一定相等。对（3）半径越大的圆，面积也越大。对（4）一个圆的周长是它的半径的倍。错（5）半圆的面积等于该圆面积的。对（6）半圆的周长等于该圆周长的。错三、看图计算（1）左图中，阴影部分的面积是11平方米，你能计算出圆形的面积吗？11×3.14＝34.54（平方米）答：圆形的面积是34.54平方米。4÷2＝2（米）4×4－2×2×3.14＝3.44（平方米）答：图形的面积是3.44平方米。四、选择1、一个半径是r的半圆形纸片，它的周长是（C）。A、B、2rC、r＋2rD、r＋r 2、小圆直径是大圆直径的，小圆的面积相当于大圆面积的（C）。A、B、C、D、3、下面每个图形的周长都是12.56分米，面积最大的图形是（B）。A、三角形B、圆C、长方形D、正方形五、解决问题（1）一个挂钟的分针长20厘米，1个小时后，这根分针的尖端所走的路程是多少厘米？20×2×3.14＝125.6（厘米）答：这根分针的尖端所走的路程是125.6厘米。（2）解放牌汽车轮胎外直径是8分米，车轮每分钟转250转，甲乙两地之间相距6.28千米，从甲地到乙地需几分钟？6.28千米＝6280米，8分米＝0.8米6280÷（0.8×3.14×250）＝10（分钟）答：从甲地到乙地需10分钟。（3）一个圆形花坛的周长是314米，这个圆形花坛的面积是多少平方米？314÷3.14÷2＝50（米）50×50×3.14＝7850（平方米）答：花坛的面积是7850平方米。（4）街心有一个圆形花坛，直径8米，在花坛周围铺一条1米宽的石子路，石子路的面积是多少？8÷2＝4（米）4＋1＝5（米）（5×5－4×4）×3.14＝28.26（平方米）答：面积是28.26平方米。