strongart数学笔记：论数学对象的同性关系

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1、论数学对象的同性关系有人问我数学中的同态、同构与同胚到底是什么关系，实际上它们就是数学对象之间的同性关系，表示彼此有一些比较类似的结构，这样的结构主要就是映射与代数或拓扑相互交叉的产物。我们先从映射开始讨论，为什么要研究映射呢？对于两个数学集合A与B而言，最一般的概念应该是二元关系，但这个关系是可以一对多的，似乎显得比较混乱。因此，我们先从单一性的要求开始，就是说先给定任何a∈A，总可以找到唯一的b∈B与之对应，这就得到一个映射f：A→B，f（a）=b.对于这样的映射f，我们还可以进一步加工。首先，像f（A）可能比B要小一点，也就是说B内可能

2、由多余的元素没有原像，此时可以考虑把这些多余的部分去掉，而直接要求f（A）=B，这就得到了满射的概念，它实际上是商关系的雏形。其实，f可能把多个元素映射到同一个元素，此时可以考虑把这些元素当成一个元素，这样的f就是一一对应的了，被称为单射。既是单射又是满射的被称为双射，它所对应的是等价关系，一般用来对数学对象进行分类。等价关系可以由等价映射的存在性定义，若A与B之间存在一个双射f，那么就称A与B的等价的，等价的意思就是说它们在一定意义上的结构是完全一致的（或者用梁灿彬的相对论视频中经常说的那样，是像得不能再像了）。有了这个基础之后，我们就可以

3、把它与代数结构相结合了，这里不妨以群的例子来说明。所谓群同态，就是指与群结构相配合的映射。假若f：A→B是群同态，那么A与B无疑都带有群结构，其中的f除了是映射之外，还把群A的结构忠实的翻译为群B的结构，具体来说就是对任何a、b∈A，有f（ab）=f（a）f（b）.我们完全可以模仿上面的讨论对群同态进行升级，满射+同态=满同态，单射+同态=单同态，双射+同态=单射+满射+同态=单同态+满同态=同构.若群A与B之间存在一个同构，那么就称群A与B是同构的，它们作为群的结构是完全一致的（像得不能再像了）。而满同态实际上就对应着一个商关系，它可以被表

4、现为所谓的基本同构定理：A/Ker(f)=Im(f).实际上，类似的结构可以在范畴论中做一般刻画的，此时的同态就是范畴中的态射（morphism）。除了群之外，一般读者可能更加熟悉线性空间的语言，对应的态射就是线性变换，而同构则是所谓的线性同构，而基本同构定理是以更一般的直和形式出现的。在拓扑学中，对应的态射是连续映射，而相应的拓扑双射则称为同胚，即逆映射连续的可逆映射。假若f：A→B是拓扑空间之间的同胚映射，那么就称拓扑空间A与B是同胚的，这实际上就是在拓扑学意义上的分类。此时，相应的商映射也非常重要，它要求：U在B内开ifff^(-1)(

5、U)在A内开，实际上就是满射与商拓扑的结合，但拓扑学中没有群那样的整体一致性，其商结构常常只是局部性的，比较常见的就把某个部分捏成一点。同胚关系在拓扑学中是基本的，但它的判定特别是证伪常常比较麻烦，因此就引入了同伦、同调等基本不变量。先来看同伦，它同样由连续映射定义的，只不过是先定义在映射上面，指两个映射之间存在着连续的形变。拓扑空间A到B的映射f与g是同伦的，是指存在连续映射f_t,t∈[0,1]，使得f_0=f，f_1=g，记作f～g.对于具体的拓扑对象，可以引入同伦等价的概念，对于拓扑空间的映射f：A→B，若还有g：B→A，使得gf～i

6、d_A,fg～id_B.实际上，这样的概念的直观意义并不明显，但我们可以找到它的一个特例：形变收缩核，其形变收缩映射与自然包含构成了同伦等价关系。直观的看，B是A的形变收缩核，是指B可以再保持A上各点不变的情况下连续形变到A上，比如R就是R^2的形变收缩核，这就说明了同伦等价确实比同胚要弱。比同伦等价更弱的拓扑不变量是同调，实际上同伦等价的一个重要意义就是导出同调群的不变性，特别是由形变收缩可以到处锥面的零调性，而几乎所有的拓扑模型都是建立锥面的基础上的（球面就是两个锥面背对背拼成的）。有趣的是，我们似乎很少说两个拓扑模型是同调的，这主要是因

7、为同调是比较弱的不变量，其证伪意义要远大于分类价值，因此我们一般只说这个两个拓扑模型的同调群相同或不同，就不再使用等价的语言了。实际上，现代数学中的同调群已经被充分发展了，这里我只能简单告诉你其原始意义就是非边缘的闭链，同时给一个例子说明同调与同伦的区别，那就是假如在环面上挖一个圆洞，那么这个洞的边缘同调于0，但却不同伦于零！按照布尔巴基学派的观点，数学中除了代数结构和拓扑结构之外，还有一个基本的序结构。对于序结构，我们同样也可以定义类似的序映射，但却没有相应的等价关系。实际上，等价关系作为二元关系，要求满足自反、对称与传递性，而序关系则是满

8、足自反、反对称与传递性。从比较容易理解的方式来说，等价关系是等号的升级形式，而序关系是不等号的升级形式，可见它们的地位在一定意义上是平行的，并不能把序关系也变成等价