strongart数学笔记：论现代纯数学中的原创与综合（附应用数学与新奇数学）

《strongart数学笔记：论现代纯数学中的原创与综合（附应用数学与新奇数学）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、论现代纯数学中的原创与综合在李克正的那本有所启迪却又让人不甚满意的《代数几何初步》的开篇中，提到了代数几何是综合的学科，而不是原创的学科，这里的原创与综合在一定意义上就相当我所提到的头与尾（当然其方向的通常意义的，暂不涉及集合论这样的反向数学领域），但遗憾的是李的书中对此并没有做充分阐述，下面Strongart教授就来具体做一番分析。李克正的书对原创性的解释就是“可以建立在一组简洁的公理和定义上“，而对综合性的解释则是含糊的说“其研究方法非常多样，不同时代、不同学派的风格千差万别，教科书也有多种模式，甚至没有大体一致的基本内容”。其实，这些还是只是表面现象而已，

2、要是说到根源的话，原创的学科就是既有自己的思想方法，又有自己的研究对象，而综合的学科则是借助原创学科的思想方法来研究自己的对象。打个比方的话，原创的学科有自己研发的核心技术，而综合性则是借助于现成的技术，最多只是在它的基础上做局部的改进。在现代的纯数学的各分支中，代数与分析是两大核心原创学科，几何与数论则是两个核心综合学科。一般而言，代数要更加华丽优雅，是数学中的贵族阶层。而分析则是更加的实用化，是数学中的大资本家，它们控制着整个纯数学发展的基本动力；同时几何主要研究的是连续对象，要比数论稍微原创一点，后者存在着大量孤立的难题，是综合学科中比较老迈偏狭的领域。综

3、观现代数学的分支名称，一般都是以代数与分析开头的，只是其中的分析常常以更为具体的微分或者解析的名词出现，比如说代数几何、微分几何、代数数论、解析数论等等，由此可见代数与分析的原创地位。当然，这样的划分只是框架式的，我们来看一下几种有趣的特殊情况：1）几何分析的逆袭。近代数学中有个称为几何分析的领域，是几何方法与分析特别是微分方程的综合，这是因为几何是综合学科中比较原创的，分析是原创学科中比较综合的，微分方程又是分析中下属的综合领域，因此出现这样的逆袭状况也就不足为奇了。2）代数几何的核心地位。为什么代数几何会处在现代数学的核心地位呢？因为它是最原创的代数作用在最

4、为综合的几何上，大部分的数学家的思想都是综合性的，但他们都希望能够看到更多原创性的东西，因此他们的兴趣点大都聚焦在代数几何上面了。3）拓扑学的跨界性。有些数学家可能会把拓扑划归到几何学的范畴内，但我宁可把它单独提出来。比起上述四大经典数学，拓扑学的诞生要晚很多，似乎不太容易被放到标准的框架里。事实上，拓扑学横跨了原创与综合的两大部分：作为基础的一般拓扑学（或点集拓扑学）属于典型原创学科，它本身就是分析的基础，同时也存在着拓扑代数这样的数学分支，甚至还一头扎进的反向研究的集合论的怀抱，但后来的发展就变成综合性的了，同样是存在着代数拓扑与微分拓扑这两个典型的综合学科

5、。拓扑学的例子可以给我们这样的启发，一般数学学科只要度过了胚胎期，那么就会有一段属于原创的时间，后来却是常常走向综合的道路。这就好比小孩子都有一个学知识的过程，但大多数孩子长大后只是用它们而已，只有少数人才会成为专门整理探究知识的科学家。即便像代数这样的原创学科，其中也包含诸如有限单群分类这样的综合性研究，但只要其中一直存在着原创的动力，那么作为一个整体就算是原创的学科了。反过来我们看几何，在欧几里得的时代的几何学自然就是原创的，但现在那个意义的直观几何已经基本被淘汰了，主要还是借助代数与分析的方法进行研究，因此就变成综合性的学科。从中我们也可以看出，原创与综合

6、的区分并不是固定不变的，而同样是随着历史不断的演变发展的，因此本文的标题中才特别加上“现代”两个字。一般而言，原创学科的发展主要在于新数学概念的发明与理论的整体推广，而综合学科则是更在乎具体问题的解决与具体数学对象的分类研究。显然，原创学科对于数学素养与创新能力的要求更高，目前国内数学家大都只知道研究综合学科，即便是对于代数与分析的研究，也常常停留内部应用的层面上，这不得不说是一件非常遗憾的事情。应用数学与新奇数学所谓应用数学，顾名思义就是以应用为主要目的的数学，典型的应用数学包括计算机数学、金融数学、生物数学等等，但有时我们也把计算数学、随机数学、模糊数学等放

7、到应用数学的范畴中，这里Strongart教授要提出一个新奇数学的新观念，对以前所说的应用数学做一个重新的整理。什么是新奇数学呢？顾名思义就是新诞生的比较奇特的数学分支，这里的“新”就是指以前没有的，但同时要求一定的奇特性，这常常表现为一个理论上的瞬间移动（shift），否则就只能是传统数学的自然发展。典型的新奇数学包括模糊数学、分数阶微积分、分形几何学等等，数学家Strongart所提出的S-divisor也可以算是一个新奇数学的萌芽。新奇数学大致又可以分为纲领性与对象性两大类。纲领性的新奇数学常常是传统数学中某个基础概念的推广，至少在理论上完全可以平行于传统

8、数学进行重构。比如模糊数