高等数学课程讲解_1.2数列的极限

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1、复习1.函数的概念与特性，复合函数与反函数的概念，基本初等函数与初等函数；2.数列的有关知识.极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的．例如，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，就是极限思想在几何学上的应用．设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为；再作内接正十二边形，其面积记为；再作内接正二十四边形，其面积记为；循此下去，每次边数加倍，一般地把内接正边形的面积记为．这样，就得到一系列内接正多边形的面积：它们构成一列有次序的数．当越大，内接正多边形与

2、圆的差别就越小，从而以作为圆面积的近似值也越精确．但是无论取得如何大，只要取定了，终究只是多边形的面积，而还不是圆的面积．因此，设想n无限增大（记为，读作趋于无穷大），即内接正多边形的边数无限增加，在这个过程中，内接正多边形无限接近于圆，同时也无限接近于某一确定的数值，这个确定的数值就理解为圆的面积．这个确定的数值在数学上称为上面这列有次序的数（所谓数列）当时的极限．在圆面积问题中我们看到，正是这个数列的极限才精确地表达了圆的面积．在解决实际问题中逐渐形成的这种极限方法，已成为高等数学中的一种基本方法，

3、因此有必要作进一步的阐明．一、数列极限的定义1.数列的概念定义1如果函数f的定义域=N={1，2，3，…}，则函数f的值域f（N）={f（n）｜n∈N}中的元素按自变量增大的次序依次排列出来，就称之为一个无穷数列，简称数列，即f（1），f（2），…，f（n），…．通常数列也写成x1，x2，…，xn，…，并简记为{xn}，其中数列中的每个数称为一项，而xn=f（n）称为一般项或通项．对于一个数列，我们感兴趣的是当n无限增大时，xn的变化趋势．以下几个均为数列：1，，，…，，…（1）2，4，6，…，2n，…

4、（2）51，0，1，…，，…（3）1，，，…，，…（4）2，2，2，…，2，…（5）2.数列的极限当n无限增大时，若数列的项xn能与某个常数a无限地接近，则称此数列收敛，常数a称为当n无限增大时该数列的极限，如数列（1），（4），（5）均为收敛数列，它们的极限分别为1，0，2．但是，以上这种关于收敛的叙述是不严格的，我们必须对“n无限增大”与“xn无限地接近a”进行定量的描述，让我们来研究数列（4）．取0的邻域U(0,ε)．1.当ε=2时，数列（4）的所有项均属于U(0,2)，即n≥1时，xn∈U(0,

5、2)．2.当时，数列（4）中除开始的10项外，从第11项起的一切项x11，x12，…，xn，…均属于，即n＞10时，．3.当时，数列（4）中除开始的3333项外，从第3334项起的一切项x3334，x3335，…，xn，…均属于，即n＞3333时，．如此推下去，无论ε是多么小的正数，总存在N（N为大于的正整数），使得n＞N时，｜xn-0｜==≤＜ε，即∈U(0,ε)．一般地，对数列极限有以下定义．定义2若对任何ε＞0，总存在正整数N，当n＞N时，

6、xn-a

7、<ε，即，则称数列{xn}收敛，a称为数列{x

8、n}当n→∞时的极限，记为=a或xn→a（n→∞）．若数列{xn}不收敛，则称该数列发散．注定义中的正整数N与ε有关，一般说来，N将随ε减小而增大，这样的N也不是惟一的．显然，如果已经证明了符合要求的N存在，则比这个N大的任何正整数均符合要求，在以后有关数列极限的叙述中，如无特殊声明，N均表示正整数．此外，由邻域的定义可知，等价于｜xn-a｜＜ε．“数列{xn}的极限a”的几何解释：将常数a及数列x1,x2,x3,…,xn,…在数轴上用它们的对应点表示出来，再在数轴上作点a的ε邻域，即开区间(a-ε,a

9、+ε)，如图1-33所示．5图1-33因不等式

10、xn-a

11、<ε与不等式a-εN时，所有的点xn都落在开区间(a-ε,a+ε)内，而只有有限个点（至多只有N个点）在这区间以外．为了以后叙述的方便，这里介绍几个符号，符号“”表示“任取”、“对于所有的”或“对于每一个”；符号“”表示“存在”；符号“max{X}”表示数集X中的最大数；符号“min{X}”表示数集X中的最小数．例1证明=0．证ε＞0(不妨设ε<1)，要使=＜ε，只要2n＞，即n＞（ln）/ln2．因此，ε＞0，取

12、N=［（ln）/ln2］，则当n＞N时，有＜ε．由极限定义可知=0．例2证明=0．证由于=≤，故ε＞0，要使＜ε，只要＜ε，即n＞．因此，ε＞0，取N=，则当n＞N时，有＜ε．由极限定义可知=0．用极限的定义来求极限是不太方便的，在以后的学习中，我们将逐步介绍其他求极限的方法．二、收敛数列的性质1.唯一性定理1若数列收敛，则其极限唯一．证假设数列{xn}收敛，但极限不唯一：=a，=b，且a≠b，不妨设a＜b，由极限定义，取ε=，则N1＞0，