问题4.5+数列中整数解问题-2018届高三数学成功在我之尖子生提分精品（江苏版）+word版含解.

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1、2018届高三数学成功在我专题姆教列问題五：数列中整数解问避一、考情分析数列是高屮数学的重要内容，乂是学习高等数学的基础，在高考中占有极其重要的地位.数列屮整数解问题逐渐成为一个新的热点.本文试阁对与数列有关的不定方程的整数解问题的解法作初步的探讨，以期给同学们的学习带来帮助二、经验分享二元不定方程双变量的不定方程，在高中阶段主要是求出此类不定方程的整数解，方法较灵活，卜面介绍3种常用的方法.方法1.因式分解法：先将不定方程两边的数分解为质因数的乘积，多项式分解为若干个因式的乘积，再由题意分类讨论

2、求解.方法2.利用整除性质：在二元不定方程屮，当其屮一个变量很好分离时，可分离变馑后利用整除性质解决.方法3.不等式估计法：利用不等式工具确定不定方程中某些字母的范围或等式一边的范围，再分别求解.如转化为型，利用的上界或下界来估计的范围，通过解不等式得出m的范围，再一一验证即可.三、知识拓展1、整数的基本性质：(1)整数的和，差，积仍为整数(2)整数的奇偶性：若=+则称n力奇数；若"=则称n为偶数，在加，减，乘法运算中，其结果有以下规律：①奇数土奇数=偶数②奇数土偶数=奇数③偶数土偶数=偶数④奇数

3、x偶数=偶数⑤偶数x偶数=偶数⑥奇数x奇数=奇数(3)若eZ,且《<,则《<—1(4)己知若neZ,且则A2只能取到有限多个整数(也有可能无解)(5)若称a能被Z?整除,则有:b①b

4、(即性质(4))，例如：若we则n的取值只能是3,4.所以在涉及求整数的值时，思路不要局限于寻找等量关系，构造不等关系依然可以求解.(2)整除问题：若表达式形式较为简单，可通过对常数进行因数分解，进而确定变呈的取值；若表达式次数较商,则可以先利用二项式定理去掉髙次的项，再进行处理.(3)多元整数不定方程：当变量的值为整数时，不定方程的解可能有有限多组解.通常的处理方式有两个：①通过对表达式进行因式分解，对另一侧的常数进行因数分解，进而将不定方程拆成多个方程的方程组，进而解出变量②将一个字母视为变呈

5、(其余视为参数)并进行参变分离，求出含变呈函数的值域，进而将参数罝于一个范围內，再利用整数离散性求得参数的值(4)反证法：运用反证法处理整数问题时，常见的矛盾有以下几点：①所解得变量非整数，或不符合己知范围②等式两侧为一奇一偶3、整数问题通常会与数列联系起来，其特征就是数列中项的序数，以及前项和的项数，均为正整数.四、题型分析(一)因式分解法【例1】已知等差数列的公差e/>0.设匕｝的前《项和为s„,巧=1，(1)求d及(2)求爪，Km的值，使得人++4■…4am^k=-【解析】:⑴略(2)由(1

6、)得么=2”-l，S„=”2(Z^N*)=(2w+A:-1)(皮+1)(A:+l)(2zn-1+2m+2A:~1)2所以(2w+*-l)(*+l)=65，由"7，AeN*知2”7+A--lM-+l>l(2m+A:-1=13.(m=565=13x5=lx65,故所以k、【点评】本题中将不定方程变形为+因为分解方式是唯一的，所以可以得到关于k,m的二元一次方程组求解.（二）利用整除性质【例2】已知数列忪J的通项公式为at]=2n-l，若为数列以｝屮的项，则m=【解析】^±1=（2"卜7）（2:’卜5）

7、，中的顶为大于等于_5（^1=_5）的竒数澌以考虑将W±1向am+22"卜3^2苛数形式变形:（加-n如-5）=[（加-3）-0-3）-2]2m-32m-3oRRR=（2t«-3）-64--_-=2/«-9+-_可得^~^应该为大于等于4的偶数，所以；；_^=4或、72w-32/«-32m-32m-iq5=83解得/«=—（舍）或》«=22m-32【答案】m=2（2/77—7）f2a?2—5）【点评】（1）本题的亮点在于对k12的变形，在有关整数的问题里，通常可对分式进行“分离2m-3常数”的变形

8、，从而将复杂的分式简化，并能立刻找到需处理的部分.例如在本题中通过“分离常数”可迅O速将0标锁定在上.2m-3QO（2）本题对的处理有多个角度，还可以从分母出发，观察到2m_3应为奇数，而eZ,而8的2m-32m-3奇因数只有1和-1，同样可确定m的值.【牛刀小试】已知数列｛义｝的前h项和为S,,，且满足4=-2,tz,,+l+3S,,+2=0（zieN＜：）.（1）求a2,%的值;（2）求数列•[fz,j的通项公式;（3）是否存在整数对（m，n）,使得等式&2-m•人=4m+8成