问题45数列中整数解问题-2018届高三数学成功在我之尖子生提分精品（江苏版）（原卷版）

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1、2018届修科闊為三赦修啟功在我专题四数列问题五：数列中整数解问题—、考情分析数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，在高考中占有极其重要的地位.数列中整数解问题逐渐成为一个新的热点.本文试图对与数列有关的不定方程的整数解问题的解法作初步的探讨，以期给同学们的学习带来帮助二、经验分享二元不定方程双变量的不定方程，在高中阶段主要是求出此类不定方程的整数解，方法较灵活，下面介绍3种常用的方法.方法1.因式分解法：先将不定方程两边的数分解为质因数的乘积，多项式分解为若干个因式的乘枳，再由题意分类讨论求解.

2、方法2.利用整除性质：在二元不定方程中，当其中一个变量很好分离时,可分离变量后利用整除性质解决.方法3.不等式估计法：利用不等式工具确定不定方程中某些字母的范围或等式一边的范围，再分别求解.如转化为f(m)=g(n)型，利用g(〃)的上界或下界来估计/(加)的范围，通过解不等式得出ni的范围，再一一验证即可.三、知识拓展1、整数的基本性质：(1)整数的和，差，积仍为整数(2)整数的奇偶性：若斤=2k+l(£wZ),则称"为奇数；若斤=2k(kwZ)侧称斤为偶数，在加，减,乘法运算川,其结杲有以下规律：①奇数土

3、奇数=偶数②奇数土偶数=奇数③偶数土偶数=偶数④奇数X偶数=偶数⑤偶数X偶数=偶数⑥奇数X奇数=奇数(3)若a,beZ,且avb,则oSb-1(4)已R,a

4、除了方程,在不等式中也可以利用整数的离散性求出变量的值(即性质(4))，例如：若/?€N,nG(2,5)JiJn的取值只能是3,4.所以在涉及求整数的值时，思路不要局限于寻找等量关系，构造不等关系依然可以求解.(2)整除问题：若表达式形式较为简单,可通过对常数进行因数分解，进而确定变量的取值；若表达式次数较高，则可以先利用二项式定理去掉高次的项，再进行处理.(3)多元整数不定方程：当变量的值为整数时，不定方程的解可能有有限多组解.通常的处理方式有两个：①通过对表达式进行因式分解，对另一侧的常数进行因数分解，进

5、而将不定方程拆成多个方程的方程组，进而解出变量②将一个字母视为变量(其余视为参数)并进行参变分离，求出含变量函数的值域，进而将参数置于一个范围内，再利用整数离散性求得参数的值(4)反证法：运用反证法处理整数问题吋，常见的矛盾有以下几点：①所解得变量非整数，或不符合已知范围②等式两侧为一奇一偶3、整数问题通常会与数列联系起来,其特征就是数列中项的序数，以及前刃项和的项数,均为正整数.四、题型分析(-)因式分解法【例1】已知等差数列伉｝的公差〃＞0.设仏｝的前刃项和为s“，6=1,52-s3=36.⑴求〃及(2)

6、求〃，々m,AehT)的值，使得。m+am-l+am^2+…+=65.(二)利用整除性质【例2】已知数列｛色｝的通项公式为色=2斤-7,若也电为数列｛%｝中的项，则m=—am+2【牛刀小试】己知数列｛atl｝的前项和为S“,且满足q=-2“+

7、+3S”+2=0(neN*).（1）求色‘碼的值；（2）求数列｛%｝的通项公式；（3）是否存在整数对（也丿）,使得等式-m-an=4加+8成立？若存在，请求出所有满足条件的（m,/?）:若不存在，请说明理rti.（三）不等式估值法【例3］已知数列｛色｝是各项均不为0的等

8、差数列,S”是其前〃项和,且满足=S2n_x,令仇二一!一，数列｛氏｝的前〃项和为7；（1）求数列｛%｝的通项公式及7；（2）是否存在正整数使得T］yTm,Tn成等比数列？若存在，求出所有的加/的值；若不存在，请说明理由••【牛刀小试】已知｛色｝为等差数列，前n项和为S”，若二二4S2,^=2匕+1（1）求匕（2）对VmeN*,将仏｝中落入区间（2/w,22w）内项的个数记为｛饥｝①求5②记s二…,匕｝的前加项和记为打，是否存在使得=-二丄成立？若存在,求的值；若不存在，请说明理由（四）反证法【例4】已知数列

9、匕｝是等差数列,数列仇｝是等比数列，且对任意的心都有：。］勺+a2b2+••・+anbn=n・2W+3，若纠=8，则:（1）求数列｛色｝,｛仇｝的通项公式（2）试探究：数列｛$｝中是否存在某一项,它可以表示为该数列中其它r（r€N,r>2）项的和？若存在，请求出该项，若不存在，请说明理由2【牛刀小试】已知数列匕｝，｛仇｝满足<=3,anbn=2,bn+i=anbn-Nvll+G”丿⑴趣，妙£｝是讎