例析“三角函数”最值问题

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　　例析“三角函数”最值问题：三角函数最值问题是三角函数的一个难点，也是历年高考的热点之一。求解三角函数的最值问题，一般先认真观察函数式，这是解题的关键，本文对六种三角函数模型进行举例，分析其结构特征，确定类型，然后根据类型，适当的进行三角恒等变形或转化，选择合适的解法，并对其解法进行探讨。　　关键字：最值；sinx；cosx　　：G633.64：B：1672-1578（2010）11-0155-01　　　　1、y=asinx+bcosx型　　例1：求函数的最值.　　解：，　　故：当，即x=π时，函数ymin=-1，当，即时，函数ymax=-1　　点评：对于y=asinx+bcosx型的函数，先转化为的形式，再利用正弦函数的有界性进行求解，要注意所给函数的定义域。 　　2、（或）型　　例2：求函数的最值。　　解：　　，故当时，函数ymin=-2，当cosx=-1时，函数ymax=7。　　点评：对于（或））型，利用转化为关于sinx（或cosx）的二次函数，要注意sinx（或cosx）本身的范围。　　3、型　　例3：求函数的最值。　　解：令t=sinx+cosx，则，故　　，　　故当t=-1时，函数ymin=-1，当时，函数　　点评：对于型，设，利用关系式，将sinxcosx用t表示出来，转化为关于t的二次函数，要注意本身的范围。　　4、（或）型 　　例4：求函数的最值　　解：要使函数有意义，需，即，函数的定义域为R　　解法一：　　，　　故函数的最大值为1，最小值为-1。　　解法二：设，则，故　　，故函数的最大值为1，最小值为-1。　　点评：对于（或）型，解法一：把sinx（或cosx）看做整体，利用分离常数法，分离出常数，；解法二，把sinx（或cosx）看做整体，把sinx（或cosx）解出来，由sinx（或cosx）的有界性（或）进行求解；两种解法都需要注意函数的定义域和sinx（或cosx）本身的范围。　　5、（或）型　　例5：求函数的最值　　解：，令，可以看做点P（cosx，sinx）与点C（-3，-1）连线的斜率， 　　∵P（cosx，sinx）在单位圆上，设过点C（-3，-1）且与单位圆相切的直线方程为，　　即　　或，　　即函数的最大值为，函数的最小值为0。　　点评：对于（或）型，先转化为（或）的形式，可以看做点P（cosx，sinx）与点C（-f，-e）连线的斜率，又P（cosx，sinx）在单位圆上，即转化为单位圆上的动点与定点连线斜率的最值问题。　　6、型　　例6：设，求函数的最小值。　　解：　　，当且仅当，即时，取等号，此时　　点评：对于型以及可以转化为型，要利用基本不等式来求解，注意基本不等式的三个条件“一正二定三相等”。