2009考研数一真题及解析.pdf

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咋学，汇聚商志、何凯文、朱伟、钟平、肖秀荣、李永乐、张宇、汤家凤、徐绽、石磊等考研名师课程，超低价格最超值。点击http://bl.zaxue100.com/tg/web/register.html?tc=397111，即可领取咋学288元优惠券，名师好课最超值2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分.2(1)当x0时,fxxsinax与gxxln1bx是等价无穷小,则()11(A)a1,b.(B)a1,b.6611(C)a1,b.(D)a1,b.66y(2)如图,正方形xyx,1,y1被其对角线划分1为四个区域Dk1,2,3,4,Iycosxdxdy,kkD1DkD2D-141x则maxI()kD1k43-1(A)I.(B)I.12(C)I.(D)I.34(3)设函数yfx在区间1,3上的图形为x则函数Fxftdt的图形为()0(A)(B)第1页共16页咋学，让考研、四六级更简单。各大手机应用市场搜索“咋学考研”即可下载 咋学，汇聚商志、何凯文、朱伟、钟平、肖秀荣、李永乐、张宇、汤家凤、徐绽、石磊等考研名师课程，超低价格最超值。点击http://bl.zaxue100.com/tg/web/register.html?tc=397111，即可领取咋学288元优惠券，名师好课最超值(C)(D)(4)设有两个数列a,b,若lima0,则()nnnn(A)当bn收敛时,abnn收敛.(B)当bn发散时,abnn发散.n1n1n1n12222(C)当bn收敛时,abnn收敛.(D)当bn发散时,abnn发散.n1n1n1n1311(5)设,,是3维向量空间R的一组基,则由基,,到基12312323,,的过渡矩阵为()122331101120(A)220.(B)023.033103111111246222111111(C).(D).246444111111246666**(6)设A,B均为2阶矩阵,AB,分别为A,B的伴随矩阵,若A2,B3,则分块矩阵OA的伴随矩阵为()BO**O3BO2B(A)*.(B)*.2AO3AO**O3AO2A(C)*.(D)*.2BO3BO第2页共16页咋学，让考研、四六级更简单。各大手机应用市场搜索“咋学考研”即可下载 咋学，汇聚商志、何凯文、朱伟、钟平、肖秀荣、李永乐、张宇、汤家凤、徐绽、石磊等考研名师课程，超低价格最超值。点击http://bl.zaxue100.com/tg/web/register.html?tc=397111，即可领取咋学288元优惠券，名师好课最超值x1(7)设随机变量X的分布函数为Fx0.3x0.7,其中x为标准正态2分布的分布函数,则EX()(A)0.(B)0.3.(C)0.7.(D)1.(8)设随机变量X与Y相互独立,且X服从标准正态分布N0,1,Y的概率分布为1PY0PY1.记FZz为随机变量ZXY的分布函数,则函数FZz2的间断点个数为()(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.2z(9)设函数fuv,具有二阶连续偏导数,zfxxy,,则.xyx(10)若二阶常系数线性齐次微分方程yayby0的通解为yCCxe,则非齐12次方程yaybyx满足条件y02,y00的解为y.2(11)已知曲线Ly:x0x2,则xds.L2222(12)设xyzx,,yz1,则zdxdydz.TTT(13)若3维列向量,满足2,其中为的转置,则矩阵的非零特征值为.2(14)设XX,,,X为来自二项分布总体Bnp,的简单随机样本,X和S分别为样本12m22均值和样本方差.若XkS为np的无偏估计量,则k.三、解答题：15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分9分)22求二元函数fxy(,)x2yylny的极值.(16)(本题满分9分)nn1设an为曲线yx与yxn1,2,所围成区域的面积,记S1an,n1S2a2n1,求S1与S2的值.n1第3页共16页咋学，让考研、四六级更简单。各大手机应用市场搜索“咋学考研”即可下载 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咋学，汇聚商志、何凯文、朱伟、钟平、肖秀荣、李永乐、张宇、汤家凤、徐绽、石磊等考研名师课程，超低价格最超值。点击http://bl.zaxue100.com/tg/web/register.html?tc=397111，即可领取咋学288元优惠券，名师好课最超值2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分.(1)【答案】(A)2【解析】fxxsinax与gxxln1bx是x0时的等价无穷小,则fx()xsinaxxsinaxlimlim等lim22x0gx()x0xln(1bx)x0x(bx)2xsinax1acosaxasinaxlim洛lim洛lim32x0bxx03bxx06bx33asinaxalim1,x06bax6b3即a6b,故排除B,C.1acosax另外,lim存在,蕴含了1acosax0x0,故a1,排除D.2x03bx所以本题选A.(2)【答案】(A)【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性.令fxy(,)ycosx,DD,两区域关于x轴对称,fx(,y)ycosxfxy(,),即被积函数是关于y的24奇函数,所以II0；24DD,两区域关于y轴对称,f(xy,)ycos(x)ycosxfxy(,),即被积函数是13关于x的偶函数,所以I2ycosxdxdy0,1(,)xyyx,0x1I2ycosxdxdy0.3(,)xyyx,0x1所以正确答案为(A).(3)【答案】(D)【解析】此题为定积分的应用知识考核,由yfx()的图形可以看出,其图像与x轴及y轴、xx所围的图形的代数面积为所求函数Fx(),从而可得出下面几个方面的特征：0①x1,0时,Fx()0为线性函数,单调递增；②x0,1时,Fx()0,且单调递减；第6页共16页咋学，让考研、四六级更简单。各大手机应用市场搜索“咋学考研”即可下载 咋学，汇聚商志、何凯文、朱伟、钟平、肖秀荣、李永乐、张宇、汤家凤、徐绽、石磊等考研名师课程，超低价格最超值。点击http://bl.zaxue100.com/tg/web/register.html?tc=397111，即可领取咋学288元优惠券，名师好课最超值③x1,2时,Fx()单调递增；④x2,3时,Fx()为常函数；⑤Fx()为连续函数.结合这些特点,可见正确选项为(D).(4)【答案】C【解析】解法1举反例：n11取anbn(1),则liman0,bn是收敛的,但abnn发散,排除(A)；nnn1n1n1n11取anbn,则liman0,bn是发散的,但abnn2收敛,排除(B)；nnn1n1n1n1221取anbn,则liman0,bn是发散的,但abnn4收敛,排除(D),nnn1n1n1n故答案为(C).解法2因为lima0,则由定义可知N,使得nN时,有a1；n11nn又因为bn收敛,可得limbn0,则由定义可知N2,使得nN2时,有bn1,nn12222从而,当nN1N2时,有abnnbn,则由正项级数的比较判别法可知abnn收敛.n1(5)【答案】(A)11【解析】根据过渡矩阵的定义,知由基,,到,,的过渡矩阵12312233123M满足：1112,23,311,2,3M2310111,,220,12233033所以此题选(A).(6)【答案】(B)OA【解析】分块矩阵的行列式BOOA22（1）AB236,BO第7页共16页咋学，让考研、四六级更简单。各大手机应用市场搜索“咋学考研”即可下载 咋学，汇聚商志、何凯文、朱伟、钟平、肖秀荣、李永乐、张宇、汤家凤、徐绽、石磊等考研名师课程，超低价格最超值。点击http://bl.zaxue100.com/tg/web/register.html?tc=397111，即可领取咋学288元优惠券，名师好课最超值即分块矩阵可逆,且OAOAOA1OB161BOBOBOAOO1B1BO3BO2B66.113AOAOAOA2故答案为(B).(7)【答案】(C)x1【解析】因为Fx0.3x0.7,所以20.7x1Fx0.3x,22x1因此,EXxFxdxx0.3x0.35dx2x10.3xxdx0.35xdx.2由于x为标准正态分布的分布函数,所以xxdx0,x1x1xdxu22u1udu2222uudu2udu2,x1EX0.3xxdx0.35xdx00.3520.7.2(8)【答案】(B)【解析】Fz()PXY{z}ZPXY{zY0}{PY0}PXY{zY1}{PY1}11PXY{zY0}PXY{zY1}2211PX{0zY0}PX{zY1},22第8页共16页咋学，让考研、四六级更简单。各大手机应用市场搜索“咋学考研”即可下载 咋学，汇聚商志、何凯文、朱伟、钟平、肖秀荣、李永乐、张宇、汤家凤、徐绽、石磊等考研名师课程，超低价格最超值。点击http://bl.zaxue100.com/tg/web/register.html?tc=397111，即可领取咋学288元优惠券，名师好课最超值由于XY,相互独立,所以11Fz()PX{0z}PX{z}.Z221(1)当z0时,Fz()()z；Z211(2)当z0时,Fz()()z,Z22因此,z0为间断点,故选(B).二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.(9)【答案】xffxyf12222z【解析】ffy,12x2zxffyxfxffxyf.1222212222xyx(10)【答案】x(1e)2x【解析】由常系数线性齐次微分方程yayby0的通解为yCCxe可知12xxye,yxe为其两个线性无关的解,代入齐次方程,有12xyayby(1abe)01ab0,111xyayby[2a(1abxe)]02a0,222从而可见a2,b1,非齐次微分方程为y2yyx.*设特解yAxB,代入非齐次微分方程,得2AAxBx,即A1A1Ax(2AB)x2AB0B2*x所以特解yx2,通解yCCxex2.12把y02,y00代入通解,得C0,C1.所以所求解为12xxyxex2x(1e)2.13(11)【答案】62【解析】由题意可知,yx,0x2,则第9页共16页咋学，让考研、四六级更简单。各大手机应用市场搜索“咋学考研”即可下载 咋学，汇聚商志、何凯文、朱伟、钟平、肖秀荣、李永乐、张宇、汤家凤、徐绽、石磊等考研名师课程，超低价格最超值。点击http://bl.zaxue100.com/tg/web/register.html?tc=397111，即可领取咋学288元优惠券，名师好课最超值22ds1ydx14xdx,212222所以Lxds0x14xdx014xd14x8212231314x.83604(12)【答案】15【解析】解法1：212222zdxdydz0d0d0sincosd21240d0cosdcos0d135cos42.305015解法2：由轮换对称性可知222zdxdydzxdxdydzydxdydz212221214所以,zdxdydzxyzdxdydz0d0d0rsindr332142140sind0rdr0sind.33515(13)【答案】2TTTT【解析】2,2,又由于0,的非零特征值为2.(14)【答案】12222【解析】由于XkS为np的无偏估计量,所以EX(kS)np,即2222EX(kS)npEX()EkS()np2npknp(1p)np1k(1p)pk(1p)p1k1.三、解答题：15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分9分)2【解析】f(,)xy2(2xy),x2f(,)xy2xylny1.y第10页共16页咋学，让考研、四六级更简单。各大手机应用市场搜索“咋学考研”即可下载 咋学，汇聚商志、何凯文、朱伟、钟平、肖秀荣、李永乐、张宇、汤家凤、徐绽、石磊等考研名师课程，超低价格最超值。点击http://bl.zaxue100.com/tg/web/register.html?tc=397111，即可领取咋学288元优惠券，名师好课最超值f(,)xy0,1x令解得唯一驻点(0,).f(,)xy0,ey由于121Afxx(0,)2(2y)12(22),e(0,)ee1Bf(0,)4xy10,xy(0,)ee121Cf(0,)(2x)e,yyey1(0,)e21所以BAC2(2e)0,且A0.2e111从而f(0,)是fxy(,)的极小值,极小值为f(0,).eee(16)(本题满分9分)nn1【解析】曲线yx与yx的交点为(0,0)和(1,1),所围区域的面积111111nn1n1n2a(xx)dx(xx),n0n1n20n1n2NS1anlimanNn1n11111111lim()lim(),N23N1N2N2N221111111n1S2a2n1（）(1).n1n12n2n123456n2nn(1)n考查幂级数x,知其收敛域为(1,1],和函数为ln(1x).n1nn(1)n因为Sx()xxln(1x),令x1,得n2nS2a2n1S(1)1ln2.n1第11页共16页咋学，让考研、四六级更简单。各大手机应用市场搜索“咋学考研”即可下载 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咋学，汇聚商志、何凯文、朱伟、钟平、肖秀荣、李永乐、张宇、汤家凤、徐绽、石磊等考研名师课程，超低价格最超值。点击http://bl.zaxue100.com/tg/web/register.html?tc=397111，即可领取咋学288元优惠券，名师好课最超值f(0)A.(19)(本题满分10分)222【解析】取:xyz1的外侧,为与之间的部分.11xdydzydzdxzdxdyI32222xyzxdydzydzdxzdxdyxdydzydzdxzdxdy.33222222221xyz1xyz根据高斯公式xdydzydzdxzdxdy0dxdydz0.322221xyzxdydzydzdxzdxdyxdydzydzdxzdxdy322221xyz13dxdydz4.222xyz1所以I4.(20)(本题满分11分)【解析】(Ⅰ)对矩阵(A)施以初等行变换1111022111111A111110122042200001k221k可求得,其中k为任意常数.222k22022又A220,对矩阵(A)施以初等行变换1440第13页共16页咋学，让考研、四六级更简单。各大手机应用市场搜索“咋学考研”即可下载 咋学，汇聚商志、何凯文、朱伟、钟平、肖秀荣、李永乐、张宇、汤家凤、徐绽、石磊等考研名师课程，超低价格最超值。点击http://bl.zaxue100.com/tg/web/register.html?tc=397111，即可领取咋学288元优惠券，名师好课最超值1220111022A122010000,440200001a2可求得a,其中ab,为任意常数.3b(Ⅱ)解法1由(Ⅰ)知1k11a2221k1,,1a0,1232222kb所以,,线性无关.123解法2由题设可得A0.设存在数kkk,,,使得1123kkk0,①112233等式两端左乘A,得kAkA0,即2233kkA0,②21332等式两端再左乘A,得kA0,即k0.3331由于0，于是k0,代入②式,得k0,故k0.将kk0代入①式,可得1321223k0,从而,,线性无关.1123(21)(本题满分11分)【解析】(Ⅰ)二次型f的矩阵a01A0a1.11a1第14页共16页咋学，让考研、四六级更简单。各大手机应用市场搜索“咋学考研”即可下载 咋学，汇聚商志、何凯文、朱伟、钟平、肖秀荣、李永乐、张宇、汤家凤、徐绽、石磊等考研名师课程，超低价格最超值。点击http://bl.zaxue100.com/tg/web/register.html?tc=397111，即可领取咋学288元优惠券，名师好课最超值由于a01|EA|0a1(a)((a1))((a2)),11a1所以A的特征值为a,a1,a2.12310022(Ⅱ)解法1由于f的规范形为yy,所以A合同于010,其秩为2,故12000A0,于是a0或a1或a2.12322当a0时,0,1,2,此时f的规范形为yy,不合题意.1231222当a1时,1,0,3,此时f的规范形为yy,不合题意.1231222当a2时,2,3,0,此时f的规范形为yy.12312综上可知,a2.22解法2由于f的规范形为yy,所以A的特征值有2个为正数,1个为零.12又a2aa1,所以a2.(22)(本题满分11分)111CPX{1,Z0}2634【解析】(Ⅰ)PX(1Z0).PZ{0}129()2(Ⅱ)由题意知X与Y的所有可能取值均为0,1,2.1111CC1CC13323PX0,Y0,PX1,Y0,1111CC4CC6666611111CCC1223PX2,Y0,PX0,Y1,1111CC36CC3666611CC122PX1,Y1,PX2,Y10,11CC96611CC122PX0,Y2,11CC966PX1,Y20,PX2,Y20,故(,)XY的概率分布为X012第15页共16页咋学，让考研、四六级更简单。各大手机应用市场搜索“咋学考研”即可下载 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